strongart数学笔记：交换代数讲课心得1

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1、为什么会有交换代数这个名称记得最早看到交换代数的时候，我总是很不满意，其中讲了很多环与模的知识，总有一种名不副实的感觉。后来倒是有点看习惯了，既然是介绍交换环的代数知识，那就干脆简称为交换代数吧。最近准备讲座的时候，我重新把群环模的概念梳理了一遍，忽然就对交换代数的命名原因有了新的看法。如果这里的代数不是理解为一般意义上的代数，而是特指交换环上的作为具体结构的代数，这样的说法就更加贴切了，而且只有交换的环才有资格升级成为代数。什么是交换环上的代数呢？让我们先从模开始，模是环R在Abel群M上的一个

2、作用，满足相应的分配律和关于数乘的结合律。对模而言，总是在作为系数的环中产生丰富的结构，多少有点头重脚轻的感觉。如果在Abel群M上再定义一个乘法平衡一下，并要求它满足关于系数的“穿越”性质：对任意a∈R，m、n∈M，则有a（mn）=（am）n=m（an），那么得到的东西就成为代数（不要和一般意义上的代数或者是测度论中的代数混淆）。请注意，环R自己也可以作为一个R-模，其数乘作用正是环的积，能否把它再推广到代数上呢？如果对于交换环而言，这样做自然是可以的。由于其“穿越”性质要求环交换，因此也只有对

3、交换环才能够升级为代数。大概正是这个原因，我们才把研究交换环上的理论称为交换代数。严格来说，交换环自己对自己做成的代数是比一般代数还要代数的代数，如何理解这句话呢？请大家注意，在代数的定义中，对于M的元素乘法并不要求结合律的，也就是说不像系数环那样要求（mn）t=m（nt），比起纯粹环对环的作用还差了那么一点。不过说实话，我所到的代数的实例大都要求自然满足乘法结合律，为什么不在代数的定义中加入结合律呢？对此我也是很困惑的。对于听老师上课的学生而言，可以接触到很多有趣的口头故事，也许是从老师的老师那

4、里传下来的，也许是老师看书时留意记下来的。我没听过这样的故事，幸好还能够凭着自己的理解编出一些来，也许它们并不是当初的真实历史，但至少对这个例子而言，基本上还算是比较贴切的。共轭类其实更适合叫做共轴类记得最早接触群论的时候，我总是对共轭类这个概念理解不透，主要是不清楚“共轭”到底“共”的是什么东西，只能干脆当它是人名，多模仿几遍似乎也就熟悉了。最近在准备讲座，我又想到了这个问题，还专门去查了“轭”到底是什么，字典上说是马车上的某个部件，无奈自己长这么大还没见过真正的马车，结果还是不甚了解。共轭类的

5、英文翻译是conjugateclass，纯粹就是一个抽象的词语，和马车根本没有任何关系。可是中文似乎没有能表示conjugate这样抽象的词汇，翻译时就只能借助于比喻，也不知是谁从哪篇古文挖出了“共轭”两个字。可既然是比喻的话，应该用熟悉的去比陌生的才是，假若一般人对喻体本身就不甚了解，这样的比喻无疑就是失败的。我想不妨就把共轭类改成是共轴类，既能照顾原先的翻译习惯，把马车换成一般的车轴，又能使得对它的理解更加透彻，具体请看下面的故事。共轴类的想法和本人的童年经历有关，当时我住在高高的楼房上面，下

6、面是一条宽阔的大马路，不远处还有一个汽车修理厂。我喜欢趴在阳台上看下面来来往往的车辆，特别是喜欢数它们一共有多少个轮子，轮子越多我也就越兴奋。小轿车有4个轮子，两节的公共汽车有6个轮子，连体拖车（后面的车坏了，由前面的车拖着走）则有8个轮子，最让我兴奋的则是集装箱大卡车，后面几排几乎全都是轮子！我一下子数不过来，只能按车轴一段段的数，然后把各个轴的轮子数加起来，也就得到了整个卡车的轮子数。假若把群看成是一个大卡车的话，那么它的两个元素conjugate就等同于卡车中两个轮子又同一车轴固定，而按轴计

7、数就相当于群中按conjugate来计数。注意到群的中心元的共轭类只有它自身，也就是说对应的车轴上只有一个轮子，把这些中心元打包一下，就可以得到所谓的群方程：

8、G

9、=

10、Z(G)

11、+Σ

12、gxg^(-1)

13、，其中Σ对各个非中心的共轭类取和。这个方程可以说是群论中的第一把尖刀，用它可以得到证明很多初步的结论。假若是无限群，计数的作用会有所减弱，但相应的关系依然成立，对应无数个轮子大概就该算是压路机了。假若你具有敏感的数学头脑，那么看到相似的结构时，就会想到是不是有一种更为一般的关系存在？如果有的话，那就

14、能够使得你的理解更加透彻；若是没有的话，不妨自己尝试着去创造一个。特别是这里的相似还是数学对象与实物之间的，这就暗示着这样的一般关系是在集合与组合计数的层面上。事实也的确如此，这里的一般结构就是所谓的等价（equivalence），它是指集合上自反、对称与传递的二元关系。请读者可以自行验证，不管是群的共轴类（conjugate）还是汽车轮胎的共轴关系，都可以看做的等价关系的一个特例。而对于按等价类进行计数，则是组合计数学中的一项非常基本的技巧。关于反例“半个有理数”的指指点点数学家