§2.3.1 抛物线及其标准方程

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1、§2.3.1抛物线及其标准方程§231抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。【教学目标】：（1）知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。（2）过程与方法：在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。（3）情感、态度与价值观：培养学生科学探索精神、审美

2、观和理论联系实际思想。【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。【前准备】：Perpint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义1椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆

3、，当e>1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系x，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为，并使原点与线段F的中点重合．设,则焦点F的坐标为（，0），准线的方程为．设点(x，)是抛物线上任意一点，点到l的距离为d．由抛物线的定义，抛

4、物线就是点的集合．∵；d=．∴．化简得：．注：叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是，准线方程是．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。三、例题讲解例1求适合下列条的抛物线的标准方程(1)过点(-3,2)；　　(2)焦点在直线x-2-4=0。分析：根据已知条求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。解：（1）设抛物线方程为2=-2px或x2=2p

5、(p>0),则将点(-3,2)方程得或。　　∴所求的抛物线方程为　（2）令ｘ＝０，由方程x-2-4=0的ｙ=-2　∴抛物线的焦点为F(0,-2)设抛物线方程为x2=2p。则由得,∴所求的抛物线方程为x2=-8或令=0由x-2-4=0得x=4,∴抛物线焦点为Ｆ(4,0)设抛物线方程为2=2px。则由得,∴所求的抛物线方程为2=16x　注意：本题是用待定系数法解的，要注意解题方法与技巧。例2已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。(1)2=6x；(2)=ax2分析：先写成标准方程，再求焦点坐标

6、和准线方程。解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是（2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程为例3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点（-3，）到焦点的距离等于，求抛物线的方程和的值。分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点在抛物线上和点到焦点的距离等于，列出关于、p的方程组，解关于、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点到准线的距离为，直接得p的关系式，求出p的值。为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。解：（方法一）设抛物线方程为2=-2px(p&g

7、t;0),则焦点，由题设可得，解之得或故所求的抛物线方程为2=-8x，ｍ的值为（方法二）由抛物线的定义可知，点到准线的距离为，∵的坐标为（-3，），∴,∴p=4，故所求的抛物线方程为2=-8x，ｍ的值为四、巩固练习1．选择：⑴若抛物线2=2px(p<0)上横坐标为-6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是(B)A、4B、8、16D、32⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于(B)A10B86D4⑶已知点F是抛物线的焦点,是抛物线上的动点。当最小时，点的坐标是()ABD2．填空：⑴

8、抛物线2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是；⑵抛物线2=2px（p＞0）上一点到焦点的距离是a（a>），则点到准线的距离是_a_，点的横坐标是．四、巩固练习3．(1)已知抛物线的标准方程是2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．线的标准方程是x2=－8．4．已知点与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+=0的距离小1，求点的轨迹方程。分析：根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为