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1、谈谈类比、联想、迁移思想在初中几何复习中的运用42中学数学研究2011年第6期谈谈类比,联想,迁移思想在初中几何复习中的运用广州市第八十九中学(510520)谢文凯初中的几何总复习面临着时间少,内容多,要求高等问题,认真组织好初中几何总复习,不仅能帮助学生掌握完整的几何知识结构和基本技能,而且能进一步提高学生的思维水平和解题能力.笔者在初中几何专题复习中注意选用一题多问,一题多解,一题多变,多题一解等形式进行解题教学,因题而异,积极创新,取得较好的复习效果.一,一题多解,联想创新,启迪思维几何专题复习的重点是培养学生灵活运用知识解决问题的能力.因此,复习时注意选择有代表性的习题,有目的
2、地对学生进行一题多解训练,引导学生从不同角度去探索,从而激发学生的创新思维,提高了课堂复习效率.例1如图1,己知△ABC中,AB=AC,AD为中线,过BC上一点F作BC的垂线,交AC于E,交BA延长线于G,求证:GF+E,=2AD.通过引导学生认真分析题目的条件和结论,根据以下不同角度寻找证明途径,培养学生的发散思维.1,探究线段的和,差,倍,GA<E/7图1分是平面几何中常见的问题,本题的结论是证明两线段的和等于另一线段的两倍,"截长补短法"是解决这一类问题的一种常用的特殊方法,"截长"就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和;"补短"就是将题中某条线段延长(补上某线段),
3、然后,证明它与题中某条线段相等.联想到补短法和截长法,可得以下两种证法思路.思路一,如图2,欲证GFA/.H/\+EF:2AD,可在较长线段BGF上截取删=AD,这样只需证明GH+EF=AD=FH.DFC图2为此只需证GH=HE,由已知条件等腰三角形及矩形性质可证.AGAE为等腰三角形,且AH为高,故获证.思路二,如图3,欲证G+EF=2AD,可把较短线段AD延长一倍.延长AD到M,使DM=AD,则AM=2AD.为此只需证明:GF+EF=AM,连结BM,CM,延长EF交BMC于K,则四边形ABMC是菱形,所以有EF=FK(轴对称性质),从而GF+EF=GK.显然可证四边形AMKG为平
4、行四边形,结论成立.这种通过整体补形的思想,将已A//7F//M图3C知图形补成某种完整的特殊的图形,利用特殊图形的原有性质,使问题中有关的元素间的隐含关系显露出来,为快速,简捷解题创造条件.2,把结论GF+EF=2AD进行恒等变形AD=1/2(GF+EF),由题中的已在条件AD为中线,根据变形后式子的结构进行联想,可分析出式子结构与三角形中位线及梯形中位线的具备的特点类似,并把式子中的线段与具体图形相对应,从而想办法分别构造出这两个定理的基本图形,由此可得以下证明思路.思路三,如图4,以AD为三角形的中位线,GF+E,为第三边构造基本图形.延长F到,使F=EF,作直线TD交AB
5、于,则GF+EF=GT,为此,只需证明AD为△G的中位线即可,连CT,可证ACTDABMD,可得D点为MT的中点,再由AD//GF得A为MG的中点,故获证.A/_E7\F(图42011年第6期中学数学研究43思路四,如图5,以GF为一底,AD为中位线,例2如图7,AB是o0的直径,CD是弦,AE上构造梯形中位线的基本图形.如右图,在DB上截取DK=DF,过K作KN上BC交AB于/,,,由等腰三角形性质,证得ANKBAEFC,则NK=EF,再由垂直关系可证NK//D∥GF,故可证.几何图形往往隐藏着各种数量关系,把数量关系与几/E7BKDFC图5何图形的空间形式特征联系起来,会很
6、好地拓宽我们的解题思路.3,题中两平行线构成分线段成比例基本图形,平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例,可考虑用比例线段来证,因此可有如下证法思路.思路五,如图6,欲让GF+EF=24D,即GF+EF=2.由已知条件有GF//AD,从——GFBFEFCF.『『I1有历,,由AD为等腰AABC底边中线,B可知BD:DC:1Bc,所以GA//E7DFC图6+=+==2撤可证.AD'ADDC'BDDC一'…'(采用结构变换的策略,寻找解题的切人点也是解决线段之问的数量关系的重要方法.)此例从不同角度的分析可以看到,进行一题多解,不仅能使学生掌握几何题的思维
7、方法,还能使学生在较少的时间里复习较多的知识内容,让几何知识得到纵横联系.知识覆盖面宽,本例解法基本覆盖了直线型的重点知识和方法,通过类比联想,构造图形,不但发展了学生的求异思维,把学到的知识融汇贯通,还能使学生逐步领悟化归的思想方法.二,一题多变,推陈出新,举一反三初中几何复习既要注重基础,培养能力,又要减轻学生负担.所以,复习教学中要采用一题多变的教学形式,提高复习课的质量.可以根据同一题的题设,结论和图形特征进行变式,引伸,扩展,推陈出新
