幂级数与欧拉公式的研究

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1、学士学位论文系别：应用数学系学科专业：数学与应用数学姓名：贾晨运城学院二零一四年五月学士学位论文系别：应用数学系学科专业：数学与应用数学姓名：贾晨运城学院二零一四年五月幂级数与欧拉公式的研究系别：应用数学系学科专业：数学与应用数学姓名：贾晨指导教师：常敏慧运城学院二零一四年五月幂级数与欧拉公式的研究摘要幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数项级数，欧拉公式在各领域的不同形式应用广泛.复数函数中的欧拉公式将定义与形式完全不同的指数函数与三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁.因此，幂级数与欧拉公式这一课题的研究对实际科研与应用具有重大意义.

2、本文首先对幂级数的基础知识及应用进行归纳总结，然后对欧拉公式特别是复数函数中的欧拉公式的基本知识及应用进行归纳总结，最后探究幂级数与复数函数中的欧拉公式的联系.关键词幂级数欧拉公式三角函数泰勒展开StudyofPowerSeriesandEuler'sFormulaAbstractPowerseriesisakindoffunctionseriesthatsimpleformandawiderangeofapplications,differentformsEulerequationsarewidelyusedinvariousfields.Euler'sformul

3、aofcomplexfunctions,contactexponentialfunctionsandtrigonometricfunctionswhichhavedifferentdefinitionsandforms,tobuildabridgeforourresearchaboutthecorrelationcalculationanditspropertiesinthesetwofunctions.Therefore,thestudyofpowerserieswithEuler’sformulahasgreatsignificancetotheactualres

4、earchandapplications.Firstly,thepapersummarizedthebasicknowledgeandapplicationofpowerseries.Then,summarizeEuler'sformulaespeciallyincomplexfunctioninthebasicsandapplications.Finally,explorethelinksbetweenpowerandEuler'sformulaofcomplexfunction.KeywordspowerseriesEuler'sformulatrigonomet

5、ricfunctionTaylorpowerseries目录引言1第1章幂级数21.1定义21.2性质21.3函数的幂级数展开31.4幂级数的应用5第2章欧拉公式82.1欧拉公式的不同形式82.2复数函数中的欧拉公式9第3章幂级数与欧拉公式133.1理论依据133.2备用公式133.3欧拉公式的形成14总结15致谢16参考文献16引言幂级数是函数项级数中最基本的级数，在其收敛区间内绝对收敛，并且具有可逐项积分与可逐项微分等性质.巧妙利用幂级数的展开式及其性质把一些较为复杂的问题转换较为简单的形式，在解题时往往思路清晰、条理清楚.幂级数的每一项都是幂函数，把一个函数展开

6、成无穷项等比函数列求和的形式，不论在函数的理论研究还是在应用方面都有很重要的意义.18世纪是分析数学壮大的世纪，而欧拉是这个世纪的数学主将.不仅函数的第一个定义是他给出，他还倡用圆周率、对数底数、虚数单位等数学符号，对我们现当代数学产生巨大影响。其中欧拉公式在各领域的不同形式在理论和实际生活中应用十分广泛.复数函数中的欧拉公式，在初等数学中具有广泛应用，特别是在三角函数恒等式证明中有重要的应用；在高等数学中也有极为广泛的应用，而且建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，它将数学中最重要的五个常数1、0、、、用一个公式便连接起来，被誉为“数学中

7、的天桥”.从研究幂级数入手，利用求函数幂级数的简单方法，即让函数的各阶导数和幂级数的各阶导数相匹配.由、、的幂级数，连贯的引出欧拉公式，并就此通俗的引入复数的概念，从而，对幂级数与欧拉公式的应用展开深入研究.复数函数中的欧拉公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁，因此，幂级数与欧拉公式这一课题的研究对实际科研与应用具有重大意义.15第1章幂级数1.1定义由幂函数序列所产生的函数项级数称为幂级数[1].它是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在