北京交通大学历年试题几何与代数

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1、北京交通大学2007-2008学年第一学期《几何与代数（B）I》期末考试试卷(A)答案及评分标准一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1、已知，，，且，则.2、若有非零解，则1，-2..3．若点，，共线，则的值分别是.4.由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是5．已知向量组的秩为2，则3.6．设为阶方阵，的行列式为的伴随矩阵，则的伴随矩阵7.向量组的一个极大线性无关组是,8.通过点且与直线垂直的平面方程是.9.设A是3阶方阵，1，2，3是A的3个特征值。则24.10.已知三阶方阵。则.二.(10分)计算n阶行列式解....8分....10分三．（12分）当为何

2、值时，线性方程组无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解（用导出组基础解系表示）。解将方程组的增广矩阵化为阶梯形：....3分（1）当时，方程组有唯一解。....5分（2）当时，方程组的增广矩阵可化为（i）当时，方程组无解；....8分（ii）当时，方程组有无穷多解；此时方程组的增广矩阵可化为一个特解是，导出组的基础解系是此时方程组的通解是....12分四．（10分）试求直线在平面：上的投影直线方程，并将它写为对称式方程解过直线的平面束方程...5分与垂直的平面是。...7分所求的投影直线方程为...8分对称式方程为。...10分五．（12分）

3、设。求满足的矩阵X，其中是的伴随矩阵，是的逆矩阵。解由知....4分又故由，....10分所以....12分六.（13分）已知三元二次型（1）用正交变换化二次型为标准形，并写出相应正交矩阵；（2）指出方程表示何种二次曲面。解（1）二次型矩阵为特征多项式解得特征值为。….4分对应三个特征值解得三个两两正交的特征向量….7分将它们单位化为…8分作矩阵…9分则是正交矩阵。经正交变换，可将二次型化为…11分（2）可化为它是一个椭圆柱面。……13分七.（8分）取何值时，三元实二次型是正定二次型？解（1）二次型矩阵为……2分二次型正定当且仅当它的矩阵的各阶顺序主子式大于0。即……5

4、分解得……8分八.证明题（两题任选一题）（5分）（1）设是阶方阵，且。证明（2）设是阶单位矩阵，是阶实矩阵。证明是正定矩阵，其中是的转置。证明（1）由，知。……2分这样。……..4分因此。……5分(2)首先是对称矩阵。关于任何非零实向量，记。则…….2分……4分所以是正定二次型，从而是正定矩阵。…….5分北京交通大学2008-2009学年第一学期《几何与代数（B）I》期末考试试卷(A)答案及评分标准一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1已知向量满足的夹角为，则以向量为邻边的平行四边形的面积是.2当有非零解，则1/4.3若平面经过点和轴,则此平面方程为.4由

5、曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是.5已知3阶矩阵且，则4.6设阶方阵的伴随矩阵为且.则7已知向量可由向量组线性表示,则向量组的秩为2.8设为3阶方阵且行列式，（其中为3阶单位阵）。则36.（其中为3阶方阵）。9已知四阶行列式.设为行列式中第行第元素的代数余子式，则010一个动点与的距离是此动点到平面距离的一半，则此动点的轨迹方程为：.二.(10分)计算n阶行列式解（1）如果，任意两列对应成比例，故----------2分(2)如果,第i行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得（箭形行列式）-----------3分-----------3分三．（12分）当为何值

6、时，线性方程组无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。解：此线性方程组的增广矩阵为------------4分所以时，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于3，所以有惟一解。---------2分当时方程组的增广矩阵可化为：，故方程组有无穷多组解：通解为------------------4分当时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，无解。------------2分四．（10分）求过点且与直线垂直相交的直线方程。解先作过点且与直线垂直的平面：---------2分直线的参数方程为：带入上式得.求出直线与平面的交点.-----------4分从点到点的

7、向量，取方向向量，所求直线方程：------4分五．（12分）设是阶方阵，且（1）证明（其中I是阶单位阵）（2）若,求矩阵解（1）由得到故.------6分(2)，,-------------4分故-------------2分六.（13分）已知三元二次型（1）试写出此二次型的矩阵。（2）用正交变换化二次型为标准形，并写出相应正交矩阵和标准型.解二次型矩阵为-----------2分解得特征值为。对应特征值的特征向量可求解得两个彼此正交的特征向量（若取的不正交，要正交化）-------6分对应特征值的特征向量。-------2分属于不同特