初二数学竞赛试卷

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1、一、选择题（每小题5分，共25分）1、若a，b，c是3个不同的正整数，并且abc=16，则ab﹣bc+ca可能的最大值是（　　）A、249B、253C、263D、2642、已知三个连续的正整数的倒数和等于．则这三个数之和等于（　　）A、27B、24C、21D、183、分母是2007的正的最简真分数有（　　）个．A、675B、1326C、1329D、13324、对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的方程[]=4的整数根有（　　）A、4个B、3个C、2个D、1个5、如图，已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平．则重叠

2、部分（阴影部分）的面积是（　　）A、10B、12C、14D、16二、填空题（每小题7分，共35分）6、将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…．那么，在第2007个拐角处的数是　_________　．7、在一个3×3的方格表中填有1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数，每格只填一个数．现将每行中放有最大数的格子染成红色，放有最小数的格子染成绿色．设M是红格中的最小数，m是绿格中的最大数．则M﹣m可以取到　_________　个不同的值．8、如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别是边AC

3、、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC．则∠PCQ=　_________　．9、化简的值为　_________　．10、如图，在长方形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点．已知长方形ABCD的面积是40cm2．则四边形MFNP的面积是　_________　cm2．三、（满分15分）11、已知a、b、c是实数．若之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为﹣1．四、（满分10分）12、如图，在△ABC中，∠ABC=46°，D是边BC上的一点，DC=AC，∠DAB=21°．试确定∠CAD的度数．五、（满分15分）13、若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和

4、是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．答案与评分标准一、选择题（每小题5分，共25分）1、若a，b，c是3个不同的正整数，并且abc=16，则ab﹣bc+ca可能的最大值是（　　）A、249B、253C、263D、264考点：整数问题的综合运用。分析：根据对16求约数可知道，16=1×2×8，对应a、b、c为1、2、8（不计顺序），则最大值是bc最小时求得，bc最小为b=1，c=2或8，剩余两项ab+ca=a+ca要最大，得a=8，c=2，ab﹣bc+ca可能的最大值．解答：解：∵对16求约数可知道，16=1×2×8，对应a、b、c为1、2、8（不计顺序），原式=（ab﹣bc+ca）

5、﹣2bc括号里的值是一定的（不管a．b．c的顺序），则对16求约数可知道，16=1×2×8对应a、b、c为1、2、8（不计顺序），最大值是bc最小时求得，bc最小为b=1，c=2或8，剩余两项ab+ca=a1+ca要最大，得a=8，c=2，最大值=81﹣12+28，=8﹣1+256，=263．故选C．点评：此题主要考查了整数问题的综合运用，根据16的约数得出a，b，c可能的值进而分析得出ab+ca=a1+ca的最大值是解决问题的关键．2、已知三个连续的正整数的倒数和等于．则这三个数之和等于（　　）A、27B、24C、21D、18考点：分式方程的应用。分析：由题意设三个连续的正整数为：x﹣

6、1，x，x+1，解得x，从而求进一步求得三个数的和．解答：解：由题意设三个连续的正整数为：x﹣1，x，x+1则解得x=8所以三个数为7，8，9所以这三个数之和=7+8+9=24．故答案为B．点评：本题考查了分式方程的应用，先设三个连续的正整数，列关系式而解得，从而求得最终答案，比较简单．3、分母是2007的正的最简真分数有（　　）个．A、675B、1326C、1329D、1332考点：整数问题的综合运用。专题：数字问题。分析：首先把2007分解质因数即2007=1×3×3×223，则3和223的倍数做分子的不是正的最简真分数，所以分母是2007的正的最简真分数2007个分数中减去3和22

7、3的倍数做分子的不是正的最简真分数即可．解答：解：2007=1×3×3×223（223，3为2007的质因数），所以分母是2007的所有正的最简真分数为，，，，…，3和223的倍数不可做分子，而真分数意味着分子小于2007，2007=3×669，2007=223×9（其中223×3，223×6，223×9已在3的倍数中数过），所以去掉的个数为669+9﹣3=675，2007﹣675=1332，所以分母是2007的所有正的最简真分数的