用待定系数法求二次函数解析式

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1、用待定系数法求二次函数解析式二次函数是初中数学主要内容之一,也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点,求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式,要观察题目中给出的条件,灵活选用方法。一般地,有三个点且点不是特殊点时,一般采用一般式;若有三个点,且有二点为函数图像与x轴交点时,采用交点式;若有顶点时,一般采用顶点式。同时,在采用交点式时,要注意二次项系数a不能漏掉。应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式,运用待定系数法求解。即:根据已知条件列出关于a、b、c或h、k及x1、x2的

2、方程(注意有几个未知数就列出几个方程);解方程组求出待定的系数;写出解析式,要化为一般式.(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)⑵顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是抛物线顶点坐标。(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标.思路1、已知图象过三点,求二次函数的解析式,一般用它的一般形式:较方便。例1 图像过A(0,1),B(1,2),C(2,-1)三点,求这个二次函数的关系式.解:分析:因为图像过三点,且三个点不属于特殊点。因此,只能

3、采用一般式求解。设函数解析式为y=ax2+bx+c∵抛物线过(0,1),(1,2),(2,-1)c=1∴a+b+c=24a+2b+c=-1解之得a=-2,b=3,c=1;∴函数解析式为y=-2x2+3x+1小结:此题是典型的根据三点坐标求其解析式,关键是:(1)熟悉待定系数法;(2)点在函数图象上时,点的坐标满足此函数的解析式;(3)会解简单的三元一次方程组。思路2、已知顶点坐标,对称轴、最大值或最小值,求二次函数解析式,一般用它的顶点式较方便。例2 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这

4、个二次函数的关系式.分析 因为这个二次函数的图象的顶点是(8,9),因此,可以设函数关系式为y=a(x-8)2+9.根据它的图象过点(0,1),容易确定a的值. 小结:此题利用顶点式求解较易,用一般式也可以求出,但仍要利用顶点坐标公式。试一试,比较一下。思路3、已知图象与轴两交点坐标,可用交点的形式,其中x1、x2,为抛物线与轴的交点的横坐标,也是一元二次方程的两个根。一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值

5、即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以,已知抛物线与x轴的两个交点坐标时,可选用二次函数的交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为两交点的横坐标。例3已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式.解 设所求二次函数为,y=a(x+2)(x-4),由于这个函数的图象过(0,3),可以得到a(0+2)×(0-4)=3解这个方程组,得a=-所以:y=-(x+2)(x-4)=.所以,所求二次函数的关系式是y=.思路4、已知图象与

6、轴两交点间距离,求解析式,可用︱x1-x2︱2=(x1+x2)2-2x1x2的形式来求,其中︱x1-x2︱为两交点之间的距离,x1、x2为图象与轴相交的交点的横坐标。4、二次函数的图象与轴两交点之间的距离是2,且过(2,1)、(-1,-8)两点,求此二次函数的解析式。思路5、由已知图象的平移求解析式,一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2+k的形式,若图象向左(右)移动m个单位,括号里-h的值就加(减)m个单位;若图象向上(下)平移n个单位,k的值就加(减)n个单位,即左加右减,上加下减,平移后的抛物线形状不变

7、,大小不变。5、将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为__检测题:根据下列条件求二次函数解析式1、已知一个二次函数的图象经过了点A(0,-1),B(1,0),C(-1,2);2、已知抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6);3、二次函数图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(4,10);3、已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4;4、已知二次函数的图象经过一次函数y=-—x+3的图象与x轴、y轴的交点,且过(1,1);5、已知二次

8、函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点;6、二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1)7、已知二次函数的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点。8、已知二次函数的图象顶点是(-1,2),且经过(1,-3)。       9、已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点是(5,-2)。10

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