2012届高考数学难点突破复习-向量的概念与几何运算

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1、2012届高考数学难点突破复习:向量的概念与几何运算第1时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念的：⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律．⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：①

2、

3、＝．②当＞0时，的方向与的方向；当＜

4、0时，的方向与的方向；当＝0时，．⑵(μ)＝．(＋μ)＝．(＋)＝．⑶共线定理：向量与非零向量共线的充要条是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得．⑵设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条是．例1．已知△AB中，D为B的中点，E为AD的中点．设，，求．变式训练1如右图所示，D是△AB边AB上的中点，则向量等于（）A．－＋B．－－．－D．＋例2已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．例3已知ABD是一个梯形，AB、D是梯形

5、的两底边，且AB＝2D，、N分别是D和AB的中点，若，，试用、表示和．时作业1如图所示，ADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．2：已知平行四边形ABD的对角线相交于点，点P为平面上任意一点，求证：时小结1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥D，需证∥，且AB与D不共线．要证A、B、三点共线，则证∥即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边

6、形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2时平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、，使得＝x＋．我们把(x，)叫做向量的直角坐标，记作．并且

7、

8、＝．2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若＝(x1，1)，＝(x2，2)，λ∈R，则：＋＝－＝λ＝已知A(x1，1)，B(x2，2)，则＝．4．两个向量＝(x1、1)和＝(x2、2)共线的充要条是．例1已知点A（2，3），B（－

9、1，），且＝，求点的坐标．例2已知向量＝(s，sin)，＝(s，sin)，

10、－

11、＝，求s(α－β)的值．变式训练2已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．例3已知向量＝(1,2)，＝(x,1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．后练习1若，，则=2（2010陕西卷）已知向量a=（2，-1），b=（-1，），=（-1,2），若（a+b）∥，则=。时小结1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应

12、根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．第3时平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过点作＝，＝，则∠AB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的．当θ＝0°时，与；当θ＝180°时，与；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积（或内积），记作•，即•＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1,1)，＝(x2,2)，则•＝．3．

13、向量的数量积的几何意义：

14、

15、sθ叫做向量在方向上的投影(θ是向量与的夹角)．•的几何意义是，数量•等于．4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．⑴•＝•＝⑵⊥⑶当与同向时，•＝；当与反向时，•＝．⑷sθ＝．⑸

16、•

17、≤．向量数量积的运算律：⑴•＝；⑵(λ)•＝＝•(λ)⑶(＋)•＝例1已知

18、

19、＝4，

20、

21、＝，且与的夹角为60°，求：(2＋3)•(3－2)．变式训

22、练1已知

23、

24、＝3，

25、

26、＝4，

27、＋

28、＝，求

29、2－3

30、的值．例2已知向量＝(sin，1)，＝(1，s)，－．(1)若a⊥b，求；(2)求

31、＋

32、的最大值例3已知是△AB所在平面内一点，且满足(－)•(＋－2)＝0，判断△AB是哪类三角形．变式训练3：若，则△AB的形状是时作业1（20