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《2011届高考数学考点知识专题总复习数列的极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2011届高考数学考点知识专题总复习数列的极限数列的极限1数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即
2、an－a
3、无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限注：a不一定是｛an｝中的项2几个常用的极限：①=（为常数）;②=0;③qn=0（
4、q
5、＜1）3数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;（an•bn）=a•b;=（b≠0）●点击双基1下列极限正确的个数是①=0（α＞0）②qn=0③=－1④=（为
6、常数）A2B34D都不正确解析:①③④正确答案:B2［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于A0B12D3解析:［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］=［n××××…×］==2答案:●典例剖析【例1】求下列极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）==（2）（－n）===（3）原式===（1+）=1评述:对
7、于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（n2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误【例2】已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lg，其中n是大于1的整数，是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ•an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为的等比数列，则an＝3̶
8、6;ｃn－1∴Sn＝（2）＝①当=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用【例3】已知直线l:x－n=0（n∈N*）,圆:（x+1）2+（+1）2=1,抛物线:=（x－1）2,又l与交于点A、B，l与交于点、D，求剖析:要求的值，必须先求它与n的关系解:设圆心（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=又r=1,∴
9、AB
10、2=4（1－d2）=设点（x1,1）,D（x2,2），由nx2－（2n+1）x+n=0,∴x1+x2=,x1•x2=1∵（x1－x2）2=（
11、x1+x2）2－4x1x2=,（1－2）2=（－）2=,∴
12、D
13、2=（x1－x2）2+（1－2）2=（4n+1）（n2+1）∴===2评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法【例4】若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+n=0的两根,其中0＜
14、
15、＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3,求的取值范围解:首先,由题意对任意n∈N*,an•an+1=n恒成立∴===又a1•a2=a2=∴a1,a3,a,…,a2n－1,…是首项为1,公
16、比为的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为,公比为的等比数列其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立∴==又b1=a1+a2=1+,b2=a2+a3=2,∴b1,b3,b,…,b2n－1,…是首项为1+,公比为的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2,公比为的等比数列,∴（b1+b2+b3+…+bn）=（b1+b3+b+…）+（b2+b4+…）=+≤3解得≤或＞1∵0＜
17、
18、＜1,∴0＜≤或－1＜＜0故的取值范围是（－1,0）∪（0,］评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于的不等式,即将{
19、bn}的各项和表示为关于的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口●闯关训练夯实基础1已知a、b、是实常数，且=2,=3,则的值是A2B3D6解析:由=2,得a=2b由=3,得b=3,∴=b∴=6∴===6答案:D2（2003年北京）若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则（a1+a2+…+an）等于ABD解析:an=即an=∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴（a1+a2+…+an）=+=答案:3（2004年春季上海）在数列{an}中，a
20、1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－－=0上，则=__________________解析:由题意得－=（n≥2）∴{}是公差为的等差数列，=∴=+（n－1）•=n
