泰勒公式在近似计算中的研究

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1、淮北师范大学2013届学士学位论文泰勒公式在近似计算中的研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名白冰学号20091101001指导教师姓名王福章指导教师职称讲师2013年3月23日摘要泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文论述了泰勒公式的一些基本内容，主要采用举例分析的方法，讨论了泰勒公式在近似计算方面的应用及技巧。通过本文的论述，可知泰勒公式可以使近似计算问题的求解简便。关键词：泰勒公式，近似计算，应用AbstractTaylor'sformu

2、laisveryimportantmathematicalanalysisofthecontentsofaconcentratedexpressionofthecalculus"approximation"oftheessence,thecalculusofvariousimportantaspectsoftheapplication.ThispaperdiscussessomeofthebasiccontentoftheTaylorformula,mainlyusingtheexampleanalysis,theTaylorformul

3、aintheapproximatecalculationandskills.Throughthediscussionofthisarticle,wecanseetheTaylorformulacanapproximatecalculationproblemsolvingissimple.Keywords:Taylor'sformula,Approximatecalculation,Applications,目录第一章前言1第二章预备知识22.1Taylor公式22.2Taylor公式的各种余项3第三章泰勒公式在近似计算中的应用63.1近似

4、计算估值63.2定积分的近似计算8结论11致谢12第一章前言随着计算机和通信技术的迅速发展,在自然科学和工程技术等众多领域中,利用计算机进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节,也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法[1]。泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松的，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便。如果将所研究的对象转化为多项式,那么问题就会比较简单了。这就使我们考虑可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此，有很多科学家和学者对此做出了重要的贡

5、献。首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的。泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿插值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,但没有给出余项的具体表达式[2]。随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式。现代也有很多期刊和教材介绍了泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要的作用，它可以应用于就极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面[3]。本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念,相关定理及余项表达式。在此基础上，研究泰勒公式在近似

6、计算中的应用方面进行了全面地总结,同时配备了相应的例题解答和文字说明,以便于读者更好地去理解。011第二章预备知识上一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的。给定一个函数在点处可微，则有：这样当时可得近似公式或，即在点附近，可以用一个的线形函数（一次多项式）去逼近函数，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高。因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数。（2）近似所

7、产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量，如果要求误差不得超过，用去替代行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数。在下面这一节我们就来设法解决这两个问题。2.1　Taylor公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个的次多项式在附近去逼近，即令（2.1）从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线去替代，而是想用一条次抛物线去替代它。我们猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数，…如何确定呢？假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有11于是得：求一次导

8、数可得：再求一次导数可得：这样进行下去可得：，，…，.因此当是一个次多项式时，它就可以表成：,（2.2）即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一