泰勒公式及其在极限运算中的运用

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1、摘要11引言32泰勒公式42.1斤次泰勒多项式42.2泰勒公式52.3泰勒公式的种类52.31含有佩亚诺余项的泰勒公式52.32含有拉格朗日余项的泰勒公式62.33特殊的泰勒公式63利用泰勒公式求极限及其应用73.1一些常见的麦克劳林公式73.2一些实例分析84结论16参考文献17在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用

2、此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性.关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算AbstractPolynomialinelementaryfunctionisthemostsimplefunction,becausethepolynomialfunctionisusedonlythreekindsofadd,subtract,multiplycomputing.Ifcantherationalfractionalfuncti

3、on,especiallytheirrationalfunctionandelementarytranscendentalfunctionapproximationusingpolynomialfunction,andmeettherequirements,obviously,thestudyoffunctionalstateandfunctionvalueapproximatecalculationhasimportantsignificance.AndtherewasaverygoodroleofbridgeandTaylorformula,thisarticlewil

4、lsystematicallyexpoundediswhatconditionforafunctiontosubstitutethepolynomialapproximation;Thepolynomialfunctioncoefficientandthefunctionofwhatkindofrelationship;Usingpolynomialfunctionapproximationinsteadofwhatthefunctionoftheerror;FocusesonhowtouseTaylorformulacalculation,theapplicationli

5、mitandthelimitanalysisofthesuperiorityoftheTaylorformula.Keywords：Taylorformula;andapproximatereplace;limitoperation1引言在数学中，泰勒公式是在级数基础上发展起来的，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式•在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用•泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位•通过泰勒公式和极限运算的学习，已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式，对于

6、一些高阶的极限运算，直接求极限不好求，利用泰勒公式能很快地求出•所以对泰勒公式的进一步研究是非常重要的.泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果•例如，⑴刘玉琏、傅沛仁、林JT等人重点谈了无理函数和初等函数用多项式函数近似代替，而这时误差又能满足要求，也即是把函数写成〃次泰勒多项式•⑶张筑生体统地谈了用〃次多项式来研究可导料次的函数，也就是带小。余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.⑷沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用•其中用泰勒公式来求极限就是一个应用.对于一些高阶的极限运

7、算，要求得其极限是非常困难的•对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的.通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明,求函数在某点的高阶导数值等方面•除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解•下面主要针对泰勒公式在极限中的应用，在一些题目当中，为解题带来了很多的便捷，这同时也为求极限提供了一种很好的方法.2泰勒公式泰勒公式是微积分学中的一个重要内容，它用〃次多