公因数与公倍数解题模组

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1、公因數與公倍數解題模組雲林縣褒忠國中總務主任陳昭龍壹、前言：在國中數學一年級課程中公因數與公倍數的應用問題乃為師生最頭疼的單元之一。老師用心講解公因數與公倍數的基本概念，然後解釋「約分」、「擴分」的數學原理，接著進入分數的加減與四則運算，到此，師生的互動還算順利，學生的學習也有一定的成效。然而，當公因數與公倍數應用到解決一些「數論問題」或「應用問題」時，學生便開始出現「有聽沒有懂」的現象，上焉者主動向老師、同學或其他管道請益，探求問題解決之道，下焉者開始排斥數學，更甚者拒絕學習，也因為如此，師生之間對學習的認知與學習的態度便開始產生落差。吾人

2、從事數學基礎教育十幾年來亦被此問題困擾多時，今特將吾人所發展之「公因數與公倍數解題模組」供與大家參考，一來讓教學者更能掌握問題講解精要之處，二來也使學習者更容易解題，讓師生之間的互動從抽象思維到具體表徵都能準確無誤地溝通。貳、模組解說：推論一：χ、a、b、c為四個相異的正整數，其中χ為變數，a、b、c為定數若a÷χ＝Q1，則χ為a的因數-------j若b÷χ＝Q2，則χ為b的因數-------k若c÷χ＝Q3，則χ為c的因數--------l∴χ為a、b、c之公因數推論二：χ、a、b、c為四個相異的正整數，其中χ為變數，a、b、c為定數若χ

3、÷a＝Q1，則χ為a的倍數-------j若χ÷b＝Q2，則χ為b的倍數-------k若χ÷c＝Q3，則χ為c的倍數--------l∴χ為a、b、c之公倍數5問題一：648用某正整數去除餘18，747用此整數去除餘12，求此正整數為何？【教法】：設此正整數為□則648÷□＝？……18（其中？表示「商數」）---------j747÷□＝？……12（其中？表示「商數」）---------k∴(648－18)÷□＝〤（其中〤表示「商數」）(747－12)÷□＝〤（其中〤表示「商數」）【概念：「除法」之本意為「分東西」，想辦法將其分完】此部分為

4、老師必須強調的概念∴630÷□＝〤（630能被□整除）735÷□＝〤（735能被□整除）此部分為解題時最重要的概念∴□為630的因數，□為735的因數∴□為630與735的公因數630＝1×630＝2×315＝3×210＝5×126＝6×105＝7×90＝9×70＝10×63＝14×45＝15×42＝18×35＝21×30∴630的因數有1、2、3、5、6、7、9、10、14、15、18、21、30、35、42、45、63、70、90、105、126、210、315、630735＝1×735＝3×245＝5×147＝7×105＝15×49＝2

5、1×35∴735的因數有1、3、5、7、15、21、35、49、105、147、245、735【註：可補充利用標準分解式檢核正因數個數630＝2×32×5×7ð∴正因數個數＝(1＋1)(2＋1)(1＋1)(1＋1)＝24735＝3×5×72ð∴正因數個數＝(1＋1)(1＋1)(2＋1)＝12】∴630與735的公因數有1、3、5、7、15、21、35、105∴□＝1、3、5、7、15、21、35、105代回j、k二式，因□為除數，不可比餘數小，所以□＝21、35、105∴滿足此題條件之正整數為21、35、105動動腦：一般所謂公因數乃為共同的

6、因數，除上述作法外（分別求其因數，再找共同的因數），還有別的作法嗎？ANS：630與735的公因數為1、3、5、7、15、21、35、105，而105為最大之數，是為最大公因數，且1、3、5、15、21、35、105為最大公因數之因數，所以可以簡化找公因數的方法，亦即先找出630與735的最大公因數，再將其因數分解即可，分解出來的數便是公因數。算式如下：（630，735）＝105105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15∴公因數有1、3、5、7、15、21、35、1055問題二：已知一年一班學生人數在30~50人之間。9月4日恰好有三同

7、學同時生日，他們分別帶來了76顆牛奶糖，152顆巧克力糖和114顆水果軟糖與班上同學同樂。結果每種糖果都能恰好平均分給每位同學而沒有剩下，試問一年一班班上有幾位同學？每人共可拿到多少個糖果？【教法】：設一年一班有同學□人則76÷□＝？（76能被□整除）152÷□＝？（152能被□整除）114÷□＝？（114能被□整除）∴□為76的因數，□為152的因數，□為114的因數∴□為76、152與114的公因數（76，152，114）＝3838＝1×38＝2×19∴□＝1，2，19，38因班上人數30~50人之間，所以滿足題意條件之人數為38人∴每人

8、共分得76÷38＋152÷38＋114÷38＝9（個）問題三：褒忠國中社區服務隊進行編組，每6人一組，8人一組，都可把人數編完而且沒有剩下。若此服務隊總人數介於40