数列提高题20120721

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1、数列训练提高题【四区二模】如果无穷数列满足下列条件：①；②存在实数，使．其中，那么我们称数列为数列．（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，证明：数列，是数列；（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．【徐汇二模】如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；（3）已知有穷等差数列的项

2、数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.【青浦一模】设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存

3、在，请说明理由．【卢湾一模】已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期．例如：数列，，，，…①可看作周期为1的数列；数列，，，，…②可看作周期为2的数列；数列，，，，，，…③可看作周期为3的数列…（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前项和；（3）在数列③中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、、、均为实数，，，，求该数列的一个通项公式．【嘉定一模】定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．（1）比较与的大小；（2）设函

4、数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．【长宁一模】对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造：，，求使对恒成立的的最小值.【杨浦二模】已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“生成数列”.（1）若数列的“生成数列”是，求；（

5、2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.探究：数列是否为等差数列,并说明理由.【嘉定黄埔二模】对，定义函数，．（1）求证：图像的右端点与图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．（2）若直线与函数，（，）的图像有且仅有一个公共点，试将表示成的函数．（3）对，，在区间上定义函数，使得当（，且，，…，）时，．试研究关于的方程（，）的实数解的个数（这里的是（2）中的），并证明你的结论．【2007上海理】如果有穷数

6、列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．【2012文】对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5

7、，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（3）设，常数，若，是的控制数列，求【2012理】对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.【2012徐汇理】（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”所以也是该数列的项，且故即.（2）设数列的公差为，因为数列是

8、项数为项的有穷等差数列若，则即对数列中的任意一项同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是“兑换数列”；又因为数列所有项之和是，所以，即（3）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，所以则又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数故数列必为有穷数列，不妨设项数