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1、循环小数中的数字出现的统计规律——神奇的142857摘要：循环小数一直都是令人着迷的主题，它那暗藏无限玄机的奥妙与不可言说的神奇规律和巧合，让无数人都“前仆后继”，废寝忘食地探讨......关键词：循环小数循环节质数前言：在看了《数学探究与欣赏》中的有关循环小数的部分后，我深深地被循环小数诸多的巧合及规律深深地吸引住了，尤其是《对循环小数问题再探》一篇最末的循环小数中的数字出现的统计规律，因此我的这篇论文主要就是探讨：若一个分数1/p(p为质数)的循环节有（p-1）位，且循环节长度大于6，那么出现1,4,2,8,5,7的频
2、数和0,3,6,9的频数是多少。正文：在研究之前，我想先引入来自金字塔内的一组神奇数——142857。1/7=0.142857142857......2/7=0.285714285714......3/7=0.428571428571......4/7=0.571428571428......5/7=0.714285714285......6/7=0.857142857142......将以上各式的循环节中的奇位数和偶位数都分别相加，和都是8和19。而且，7/7=1=0.9999......(后面的等式很容易证明)1428
3、57X1=142857142857X2=285714142857X3=428571142857X4=571428142857X5=714285142857X6=857142同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。而且，142857X7=999999142+857=99914+28+57=991+4+2+8+5+7=27=2+7=9142857X142857=20408122449将其积分为前五位数字和后六位数字，相加得20408+122449=142857真是美妙绝伦！好了，言归正传。首先，100以内的质数中，这样的p共有
4、9个，分别是7、17、19、23、29、47、59、61、97。1/7的循环节是142857。数字1,4,2,8,5,7各出现1次；0,9出现0次；3,6出现0次。1/17的循环节是0588235294117647。数字1,4,2,8,5,7各出现2次；0,9出现1次；3,6出现1次。1/19的循环节是052631578947368421。数字1,4,2,8,5,7各出现2次；0,9出现1次；3,6出现1次。1/23的循环节是0434782608695652173913。数字1,4,2,8,5,7各出现2次；0,9出现2次
5、；3,6出现3次。······在这类循环小数中，循环节里的1,4,2,8,5,7有相同的个数，0和9，3和6的个数也分别相同。由于p是质数，所以我们可以把p分为四种类型，即p=10n+1,p=10n+3,p=10n+7,p=10n+9。经过不断的计算，可以得出下表的规律：p的类型1、4、2、8、5、7的个数0、9的个数3、6的个数p=10n+1nnnp=10n+3nnn+1p=10n+7n+1nnp=10n+9n+1nn+1因为当p=10n+1时，p最小为61，验证起来较为繁琐，所以下面只证明p=10n+3的结论，其它三种
6、类型证法相同。从表中可以看出，当p=10n+3时，1、4、2、8、5、7的个数为n，0、9的个数也为n，而3、6的个数为n+1。证明如下：由1/p的循环节长度为（p-1）可知，利用长除法求1/p时，余数会出现1～（p-1），所以可以做以下分类讨论：当余数为１～n时，随后的商必为0，因为10n/(10n+3)＜1,而从1到n共有n个自然数，所以循环节0的个数为n。当余数为n+1～2n时，随后的商必为1，这是因为10(n+1)/(10n+3)=10n+10/(10n+3)＞1,10×(2n)/(10n+3)=20n/(10n+
7、3)＜2。而从n+1到2n共有n个自然数，所以循环节中1的个数为n。当余数为2n+1～3n时，随后的商必为2，这是因为10(2n+1)/(10n+3)=20n+10/(10n+3)＞2,10×(3n)/(10n+3)=30n/(10n+3)＜3。而从2n+1到3n共有n个自然数，所以循环节中2的个数为n。当余数为3n+1～4n+1时，随后的商必为3，这是因为10(3n+1)/(10n+3)=30n+10/(10n+3)＞3,10×(4n+1)/(10n+3)=40n+10/(10n+3)＜4。而从3n+1到4n+1共有n+
8、1个自然数，所以循环节中3的个数为n+1。当余数为4n+2～5n+1时，随后的商必为4，这是因为10(4n+2)/(10n+3)=40n+20/(10n+3)＞4,10×(5n+1)/(10n+3)=50n+10/(10n+3)＜5。而从4n+2到5n+1共有n个自然数，所以循环节中4的个数为n。当余数
