易拉罐的最优尺寸设计改进的模型设计

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1、易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要研究内容我们利用数学建模方法，求解355毫升易拉罐的形状、尺寸最优设计，即在满足容积相同条件下，易拉罐制作用料最节省的设计方案，并与测量所得各指标数据相比较，讨论实际的易拉罐制造是否符合最优设计，及最优设计的正确性和可行性。然后根据以上最优设计方案结果发挥想象，合理合情地设计一个打破传统的易拉罐形状和尺寸的最优设计。最后我们对于优化模型的现实意义进行了讨论，结合实际提出了改进与推广建议。研究方法与研究结果我们小组根据对象的特征和建模目的，做出两个必要、合理的简化假设：一是将易拉罐的形状作了规范，二是结合测量数据与了解到的实际制作方法，假设易拉罐顶部与侧壁的厚度比设

2、为3:1。具体建模步骤及结果如下：1）简化模型，假设易拉罐为一个正圆柱体，我们发现当圆柱体的高与底面半径比为4:1时，制作用料最省，达到最优。2）24细化模型，将模型看作上部圆台、下部圆柱体的结合，又分别在不考虑顶部与侧壁厚度差异和考虑厚度差异两种情况下，求得最优设计分别应满足条件：圆柱体高：圆台高=10：1；圆柱体底面半径：圆台顶部半径=6：53）自主设计易拉罐最优方案，根据相同体积下球形的表面积最小原理，发挥想象力，从最简单的球形演化分析，一步步演绎出最终的易拉罐形状和尺寸的最优设计。模型优缺点评价优点：综合分析考虑到人体工程学、审美学（黄金分割点）等多方面的内容，从多个角度构建出数学模型

3、约束条件。在模型求解的过程中利用汇编语言，减少了人工计算的时间成本。在测量数据过程中，使用实验室专业测量工具如游标卡尺，避免了直尺测量或到互联网上寻找相关数据的不准确性。缺点：由于不熟悉线性、非线性数学软件的操作，所得结果存在一定的误差。关键字355毫升易拉罐优化设计数学建模（简化模型、细化模型）黄金分割点人体工程学24一、问题重述在提高我们的生活质量进程中，饮料成为不可或缺的一部分。如今的饮料的盛装器皿也是琳琅满目，有可口可乐经典的玻璃瓶，有550～600毫升的塑料瓶，也有盛装牛奶的标志性容器利乐砖，而其中最为普遍的是铝制易拉罐。铝制易拉罐发展非常迅速，到20世纪末每年的消费量已有1800多

4、亿只，在世界金属罐总量（约4000亿只）上是数量最大的一类。用于制造铝罐的铝材消费量同样快速增长，1963年还近于零，1997年已达360万吨，相当于全球各种铝材总用量的15％。[1]因此对于单个的易拉罐来说，形状与尺寸的最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。本论文要解决的问题就是，结合数学建模讨论在具有相同容积下易拉罐的尺寸满足什么条件，能够实现制造易拉罐的用料最少；并力图寻找建模得出的最优模型与真实易拉罐的制作尺寸的关联性，利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出本小组关于易拉罐形状和尺寸的最优设计二、测量数据2.1测量对象

5、：厂家：大连可口可乐饮料有限公司24品牌：雪碧额定容量：355毫升生产日期：2006.08.122.2测量工具：游标卡尺，量程0~150毫米，准确度为0.02毫米，该量具经过国家计量机构检定合格，有效期至2006.9.302.3测量结果：易拉罐实际尺寸测量数据一览表单位：毫米符号测量值壁厚实际值下部圆柱体内直径d1=2*r165.020.2064.62中部圆柱体内高度h1100.020.2099.82上部圆台体上直径d2=2*r255.020.6053.82上部圆台体下直径d1=2*r165.020.2064.62上部圆台体高度h210.000.609.40易拉罐顶部厚度：0.6毫米；易拉罐初

6、顶部外其他部分厚度：0.2毫米24三、简化模型3.1分析和假设：首先把易拉罐近似看成一个正圆柱。要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。3.2明确变量和参数：因为制造顶盖使用材料的硬度要比其他的材料要硬，假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同,记作,顶盖的厚度为。设饮料罐的半径为r（因此，直径为d=2r）,罐的高为h，罐内体积为V，b为除顶盖外的材料的厚度。则其中r,h是自变量,所用材料的体积SV是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数.3.3建立模型：易拉罐侧面所用材料的体积为：24饮料罐顶盖所用材料的体积为：饮料罐底部所用材料的体积为：所以,S

7、V和V分别为,因为,所以带的项可以忽略，因此：记.于是我们可以建立以下的数学模型：其中S是目标函数，是约束条件,V是已知的(即罐内体积一定),即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r，h和使得r,h和测量结果吻合。3.4模型求解：求解方法：从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题。从解出,代入S,使原问题化为：求d:h使S最小,即求r使24最小.求临界点:令其导数为零得解