17.(浙江湖州)如图1,已知菱形abcd的边长为2,点a在

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1、17.(浙江湖州)如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点,点D的坐标为(-,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<).①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°得△FE′C′,

2、当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.xOyADC图2BEFxOyADC(B)图1解:(1)由题意得AB的中点坐标为(-,0),CD的中点坐标为(0,3)分别代入y=ax2+b得解得∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3(2)①在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC=2∴sinC===,∴∠C=60°,∠CBE=30°∴EC=BC=,DE=又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°∴∠ADC=180°-60°=120°要使△ADF与△DEF相似,则△ADF中必有一个角为直角(Ⅰ

3、)若∠ADF=90°,则∠EDF=120°-90°=30°在Rt△DEF中,DE=,求得EF=1,DF=2又∵E(t,3),F(t,-t2+3)∴EF=3-(-t2+3)=t2,∴t2=1∵t>0,∴t=1此时==2,==2,∴=又∵∠ADF=∠DEF,∴△ADF∽△DEF(Ⅱ)若∠DFA=90°,可证得△DEF∽△FBA,则=设EF=m,则FB=3-m∴=,即m2-3m+6=0,此方程无实数根∴此时t不存在xOyADCBEFE′C′(III)由题意得,∠DAF<∠DAB=60°∴∠DAF≠90°,此时t不存在综上所述,存在t=1,使△ADF

4、与△DEF相似②-≤t≤提示:∵C(+t,3),E(t,3),F(t,-t2+3)C′E=CE=,E′F=EF=3-(-t2+3)=t2∴C′(t-,-2t2+3)把y=-2t2+3代入抛物线的解析式,得-x2+3=-2t2+3解得x=±t∵0<t<,∴要使△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界),只需点C′落在所围的图形中(包括边界)所以必须满足解得-≤t≤【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,菱形的性质,平移的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行的性质,相似三角形的判定,解方

5、程和不等式。【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标,然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。(2)①如图2所示,△ADF与△DEF相似,包括三种情况,需要分类讨论:(I)若∠ADF=90°时,△ADF∽△DEF,求此时t的值。(II)若∠ADF=90°时,△DEF∽△FBA,利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。(III)∠DAF≠90°,此时t不存在。

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