17.（浙江湖州）如图1,已知菱形abcd的边长为2,点a在

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1、17．（浙江湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点，点D的坐标为（－，3），抛物线y＝ax2＋b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）．①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°得△FE′C′，

2、当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．xOyADC图2BEFxOyADC(B)图1解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－，0），CD的中点坐标为（0，3）分别代入y＝ax2＋b得解得∴这条抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3（2）①在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BE＝3，BC＝2∴sinC＝＝＝，∴∠C＝60°，∠CBE＝30°∴EC＝BC＝，DE＝又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠C＝180°∴∠ADC＝180°－60°＝120°要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角（Ⅰ

3、）若∠ADF＝90°，则∠EDF＝120°－90°＝30°在Rt△DEF中，DE＝，求得EF＝1，DF＝2又∵E（t，3），F（t，－t2＋3）∴EF＝3－(－t2＋3)＝t2，∴t2＝1∵t＞0，∴t＝1此时＝＝2，＝＝2，∴＝又∵∠ADF＝∠DEF，∴△ADF∽△DEF（Ⅱ）若∠DFA＝90°，可证得△DEF∽△FBA，则＝设EF＝m，则FB＝3－m∴＝，即m2－3m＋6＝0，此方程无实数根∴此时t不存在xOyADCBEFE′C′（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB＝60°∴∠DAF≠90°，此时t不存在综上所述，存在t＝1，使△ADF

4、与△DEF相似②－≤t≤提示：∵C（＋t，3），E（t，3），F（t，－t2＋3）C′E＝CE＝，E′F＝EF＝3－(－t2＋3)＝t2∴C′（t－，－2t2＋3）把y＝－2t2＋3代入抛物线的解析式，得－x2＋3＝－2t2＋3解得x＝±t∵0＜t＜，∴要使△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界），只需点C′落在所围的图形中（包括边界）所以必须满足解得－≤t≤【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方

5、程和不等式。【分析】（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。