数列中的探索性问题分类解析

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1、数列中的探索性问题分类解析河南省三门峡市卢氏一高赵建文E-mail:zhaojw1968@tom.com近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.一、条件探索性问题对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要

2、条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．例1已知正项数列{}满足=(≥2,＞0)，＝1，其中是数列{}的前项和．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前项和为，求的取值范围使＜2对所有的∈*都成立．解：∵＝1，=，得=，∴＝0（舍）或＝，∵=①∴=（≥3)②①－②得=，即=0∵数列{}为正项数列，∴≠0，∴＝（≥3），即数列{}从第二项开始是公差为的等差数列．∴＝.（2）∵＝，当≥2时，=＝要使=＜2,对所有的∈*恒成立，∵＞0,∴只要＞所有的∈*恒成立，∵＜1，∴只要≥1，解得0＜t≤1．∴的取

3、值范围为.点评：对条件探索性问题，解题的基本策略为执果索因，先寻找使结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件.注意在执果索因的过程中，要考虑推理过程是否可逆，不要将必要条件误当充分条件.确定条件是否多余要着眼于每个条件对所求或所证的对象的确定性，判定条件正误多从构造反例入手.二、结论探索性问题探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力

4、的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．例2已知等比数列{}的前项和为=(∈,∈)（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}满足=，为数列{}的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由=(∈,∈)得:≥2时，==∵{}是等比数列，∴===4，∴=－2，得=（∈）；（Ⅱ）由=和=得=，∴=＋＋＋…＋=＋＋…＋＋（1）=＋＋…＋＋（2）∴(2)－（

5、1）得，=＋＋＋…＋＋－=∴=∴===，∴当≥6时，有＞0，所以当≥6时，有＜，当1≤≤5时，有＜0，所以当1≤≤5时，有＞，综上所述：当≥6时，有＜；当1≤≤5时，有＞.【点评】对结论探索型问题，先充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，在论证.三、存在性探索问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．例3已知数列{}的前项和为=，在数列{}中，=8，=0，问是否存在常

6、数使得对任意，恒为常数，若存在求出常数和,若不存在说明理由.解析：假设存在常数使得对任意，恒为常数，∵=，∴当=1时，则==8，当≥2时，===，当=1适合，∴=，又∵=0，∴=，∴数列{}是首项为8，公比为的等比数列，∴==，则===，又∵对任意，恒为常数，∴=0，解得=2，∴==11，∴假设存在常数=2使得对任意，恒为常数=11.点评：对存在性问题，先假设题中数学对象存在（或结论成立）或暂时认可其中一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，则说明存在性得以证明.