2011 复变函数论 综合复习

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1、基本内容复数及复平面复数及复平面点集是研究复变函数的基础。复变函数复变函数及其理论与微分学的相应内容有相似亦有不同，并有一定的联系。解析函数是本课程主要研究对象，解析函数的实、虚部之间深刻的内在联系，体现在柯西——黎曼条件中。复变函数的积分　包含复变解析函数的最精彩的部分。它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。     级数　级数是研究解析函数的一个重要工具。泰勒定理和罗朗定理给出了解析函数在解析点展成幂级数和在解析环中展成罗朗级数的可能性。它

2、们在理论上的应用是使我们得到了体现解析函数重要特性和内在联系的定理：解析函数的唯一性定理以及研究已知孤立奇点的性质。   留数 留数在复变函数论本身及应用中较为主要，留数定理的应用在本章中包含两个方面：一是计算积，二是考察区域内函数的零点分布情况     保形映射   保形映射是复变函数理论的基本概念。线性变换及其他基本初等函数的变换有某些重要的特性，在实际问题中有重要的应用。重点是：（1）           解析函数，柯西积分定理和积分公式（2）           级数，泰勒展开和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理（

3、3）           留数定理及应用（4）           线性变换，保形映射基本要求1.进一步熟悉中学阶段有关复数用其运算的知识；　　2.熟悉掌握有关平面点集的概念以及定义在复平面上的函数概念和函数极限，函数连续概念及性质；　　3.较熟练地应用复数知识解决初等数学中的有关几何代数问题；　　4.深刻理解解析函数的概念及其特性；　　5.掌握判断函数可微与解析的重要条件；　　6.研究初等解析函数初等多值函数的性质及实变初等函数的异同；　　7.掌握如下重要公式和定理：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数的n阶导数公式，

4、柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理等；　　8.熟练应用柯西积分式，及高阶导数公式计算一些常见的复积分；　　9.掌握解析函数项级数的维氏定理，泰勒定理，解析函数零点的孤立性唯一定理，最大模原理等；　　10.熟练地用各种方法将一些函数展开为泰勒级数；　　11.能深刻理解和掌握孤立点奇点的三种分类法和相应的三类奇点的性质定理；　　12.能用罗朗定理将某些函数在圆环内熟练地展开成罗朗级数；　　13.深刻理解残数概念；　　14.能熟练地应用残数定理计算各种围绕积分和某些实函数的积分；　　15.深刻理解解析变换的三个特性；　　16.

5、掌握分式线性函数，幂函数与根式函数，指数函数，儒可夫斯基函数等变换的性质和特点；　　17.熟练地应用上述函数进行一些曲型区域的保形变换。几个精彩部分1解析的充要条件2柯西积分定理===＞摩勒拉定理3解析函数的唯一性定理4实分析平行推不过来的、说不清楚的和做不下去的5解析函数的孤立奇点6代数学基本定理的证明7辐角原理=====＞保域定理8分式线性变换、幂函数、指数函数保形映射