练习三 三角函数、三角恒等变换、解三角形

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1、练习三三角函数、三角恒等变换、解三角形练习三三角函数、三角恒等变换、解三角形1．已知函数f(x)＝asinx＋bcosx的图象经过点和．(Ⅰ)求实数a和b的值；(Ⅱ)当x为何值时，f(x)取得最大值．2．设函数(Ⅰ)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(Ⅱ)当时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积．3．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知(Ⅰ)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；(Ⅱ)若，求△ABC面积的最大值．4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b

2、，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设m＝(sinA，1)，n＝(－1，1)，求m·n的最小值．练习四数列1．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5．(Ⅰ)求数列{an}的通项an；(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn的最大值．2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n．(Ⅰ)求数列的通项公式an；(Ⅱ)设2bn＝an－1，且，求Tn．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n＝1，2，3，...)，数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．(Ⅰ)求数列{an}

3、和{bn}的通项公式；(Ⅱ)记Sn＝a1b2＋a2b2＋...anbn，求满足Sn＜167的最大正整数n．4．设数列{an}满足当n＞1时，，且(Ⅰ)求证：数列为等差数列；(Ⅱ)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，说明理由．5．已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：(Ⅰ)求证{an}是等差数列；(Ⅱ)若，求数列{bn}的前n项和的最小值．练习五不等式1．解关于x的不等式：(Ⅰ)loga(2x＋1)＞loga(3－x)；(Ⅱ)ax2－1＜x＋a．2．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费

4、用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？练习七平面向量已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b．(Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x的值；(Ⅱ)若，求的值．练习八导数及其应用1．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，a∈R．(Ⅰ)当a＝－3时，求证：f(x)在R上是减函数；(Ⅱ)如果

5、对x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．2．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1．(Ⅰ)若y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值．3．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)．(Ⅰ)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．4．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)求f

6、(x)在区间的最大值和最小值．练习十一空间向量与立体几何1．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题．(Ⅰ)求证：EF⊥B1C；(Ⅱ)求EF与C1G所成的角的余弦；(Ⅲ)求FH的长．2．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．(Ⅰ)试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1－EF－A的大小(结果用反三角函数值表示)．3．如图，已知点P在正方体

7、ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA＝60°．(Ⅰ)求DP与CC1所成角的大小；(Ⅱ)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．4．如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2．　　　　　　　　　　　　图1图2(Ⅰ)证明：AC⊥BO1；(Ⅱ)求二面角O－AC－O1的大小．5．如图，在三棱锥S－ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．(Ⅰ)证明：SO⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A－SC－B的余弦值．练习十三圆锥曲线方程1．已知曲线Γ上任意一点P到两个定点和

8、的距离之和为4．(Ⅰ)求