证明四点共圆常用的策略例析

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1、证明四点共圆常用的策略例析摘要：“四点共圆”是初等几何中一个很重要的内容，在竞赛数学中也经常会涉及到.本文将详谈求证四点共圆的几种解题策略，同时结合实例加以说明.关键词：四点共圆解题策略1四点共圆的概念如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.这类问题一般有两种形式:(1)证明某四点共圆或以四点共圆为基础证明若干点共圆；(2)通过证明某四点共圆得到一些重要的结果,进而解决问题.2证明四点共圆常用的几种解题策略：2.1利用圆的定义：即要证明A、B、C、D四点共圆

2、，只要能找到一点O,使得A、B、C、D四点距离定点O等长，即OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆.例如，“证明菱形四边的中点共圆”就可以利用这个方法.事实上，菱形四边的中点与菱形对角线的交点等距离，因而得证.例1．如图1，⊙，⊙，⊙…都经过点A和B.点P是线段AB延长线上任意一点，且PC，PD，PE…分别与⊙，⊙，⊙…相切于点C,D,E,…。求证：C,D,E…在同一个圆上。剖析：此题较简单.只需要证明PC=PD=PE=…,从而由圆的定义即可知道C,D,E,…在以P为圆心,PC为半径的

3、圆上.而证明PC=PD=PE=…,由于PC2=PB·PA,PD2=PB·PA,PC2=PB·PA,PE2=PB·PA…故PC=PD=PE=……成立,从而得证.2.2利用角的关系若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆.如图2：要证明A、B、C、D四点共圆，只需要找到∠DCE=∠DAB或者∠BCD+∠DAB=180°即可.特别的,当∠DAB=∠BCD=90°时，A、B、C、D四点共圆，而且BD为所共圆的直径.例2．如图3，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别

4、在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.地址：广东汕头市潮南区砺青中学邮编：515135第4页共4页求证：（1）C，D，K，M四点共圆（2）∠DMA＝∠CKB∠DMA＝∠CKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）剖析：连接KM，由∠DAM＝∠CBK易知A，B，M，K四点共圆，于是有∠DAB＝∠CMK.∠AMB＝∠BKA∵∠DAB+∠ADC＝180°∴∠CMK+∠KDC＝180°.故C，D，K，M四点共圆∠DKC＝∠CMD.但已证∠AMB＝∠BKA，于是有∠DKB=∠CMA,∴∠DKB-∠DKC=∠CMA-∠

5、CMD∴∠DMA＝∠CKB.证明略.例3．如图4，⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：（1）C，O，K，M四点共圆.（2）∠BMO=90°.(改自第26届IMO第五题)剖析：要证C，O，K，M四点共圆,只需证∠COK+∠CMK=180°.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°

6、∴C，O，K，M四点共圆.在C，O，K，M所共的圆中，由OC=OK得弧OC=弧OK，于是有∠OMC=∠OMK.∵∠GMC=∠BMK，且∠OMC+∠OMK+∠GMC+∠BMK=180°∴∠BMK+∠OMK=90°,即∠BMO=90°.2.3利用同底同侧等顶角的三角形：如图5，由∠ADB=∠ACB可得A、B、C、D四点共圆.特别地当∠ADB=∠ACB=90°，可知AB为A、B、C、D四点所在圆的的直径.例4．如图6，点分别在线段上运动（不与端点重合），而且，是的外心，证明四点共圆.（第四届“锐丰杯”

7、初中数学邀请赛试题）剖析：易知,这由≌可得.要证四点共圆，只需要证.由和以及可以证得≌,于是有，那么，又由于和都是等腰三角形,地址：广东汕头市潮南区砺青中学邮编：515135第4页共4页所以，于是结论得证.2.4利用线段的等积关系：如果两线段AB，CD相交于E点，且AE·EB=CE·ED，则A，B，C，D四点共圆（如图7）;或者AB，CD的延长线相交于E点，且AE·EB=CE·ED，则A，B，C，D四点共圆（如图8）.例5．设XY是⊙O外一直线，OP⊥XY于P，且交⊙O于A，过A引两直线与⊙O和

8、XY分别相交于K，M，L，N（图9），求证：K，M，L，N四点共圆.剖析1：利用同底同侧等顶角的三角形，如图9：要证K，M，L，N四点共圆，只要证∠KLX=∠KMN，由于OP⊥XY，若过A作⊙O的切线AT，则AT//XY，因而∠KLX=∠KAT，要证∠KLX=∠KMN即需证∠KMN=∠KAT，利用弦切角等于同弧上的圆周角,∠KMN=∠KAT，于是∠KLX=∠KMN，即得证.剖析2：利用线段的等积关系，要证K，M，L，N四点共圆，只需证AM·AN=AK·AL，如图10，注意∠APL是直角三角形，如