《数论初步》综合练习答案

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1、《数论初步》综合练习答案一、填空题1.as+bt=12.4301,17.3.40488,2.4.5.6..7..二、计算题1.解:28!=2.解:24!=3.解:由辗转相除法得:(3468,24871)=17,所以.4.解:设这两个数为a,b,由于(a,b)=8,故a=8x,b=8y,其中(x,y)=1;因为ab=(a,b)[a,b],所以64xy=512,即xy=8;而(x,y)=1,故x=1,y=8;或x=8,y=1;所求两数为:a=8,b=64.三、判断及叙述题判断命题:1.对2.错3.错4.对5.对6.对7.错叙述定义或定理:1.带余数除法(定理):设a,b是两个给定的整数,,那

2、么一定存在唯一的一对整数q与r,满足b=qa+r,.此外,a

3、b的充要条件是r=0.2.算术基本定理:设a>1,则必有(*),其中是质数,且在不计次序的意义下,a的表示式(*)是唯一的.3.质数:设整数如果它除了显然约数外没有其它的约数,那么,就称为是质数(或素数).四、证明题1.证:设(a,b)=d,则a=sd,b=td,且(s,t)=1,所以(na,nb)=(nsd,ntd)=nd=n(a,b).2.证::若,则n=am,2

4、m>1,这与是质数矛盾.3.证:不妨设这个有理数是若是整数,则,所以;由于(a,b)=1,所以a

5、b,故1=(a,b)=a.4.证:因为2

6、n(n-1)(2n-

7、1)(1)(两个连续整数中必有一个为偶数).则n=3a+b,其中a,b为整数,且(2)当b=1时,n-1=3a,所以3

8、(n-1);当b=2时,2n-1=6a+3,所以3

9、(2n-1);当b=3时,n=3a+3,所以3

10、n;故3

11、n(n-1)(2n-1)(3)而(2,3)=1,由(1),(3)式知:6

12、n(n-1)(2n-1).5.证:假设m不是质数,则存在整数d,1

13、为n为奇数,设n=2m+1,其中m为整数;=4m(m+1),又2

14、m(m+1),故8

15、4m(m+1),即.9.证:m为奇数,,又,从而,其中q为整数,即或2,显然只能为1.10.证:是三个连续整数乘积,从而其中必有一个是3的倍数,故;又由于n为奇数,设n=2m+1,则;而(3,8)=1,故.11.证:设a=21n+4,b=14n+3,只要证存在整数x,y,使得ax+by=1即可,由于3b-2a=42n+9-(42n+8)=1,所以(a,b)=1,即(21n+4,14n+3)=1.

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