《数论初步》综合练习答案

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1、《数论初步》综合练习答案一、填空题1．as+bt=12．4301，17.3．40488，2.4．5．6．．7．．二、计算题1．解：28!=2．解：24!=3．解：由辗转相除法得：（3468，24871）=17，所以．4．解：设这两个数为a，b，由于（a，b）=8，故a=8x，b=8y，其中（x，y）=1；因为ab=（a，b）[a，b]，所以64xy=512，即xy=8；而（x，y）=1，故x=1，y=8；或x=8，y=1；所求两数为：a=8，b=64．三、判断及叙述题判断命题：1．对2．错3．错4．对5．对6．对7．错叙述定义或定理：1．带余数除法（定理）：设a,b是两个给定的整数，，那

2、么一定存在唯一的一对整数q与r，满足b=qa+r,.此外，a

3、b的充要条件是r=0．2．算术基本定理：设a>1，则必有（*）,其中是质数，且在不计次序的意义下，a的表示式（*）是唯一的．3．质数：设整数如果它除了显然约数外没有其它的约数，那么，就称为是质数（或素数）．四、证明题1．证：设(a,b)=d,则a=sd,b=td,且(s,t)=1,所以(na,nb)=(nsd,ntd)=nd=n(a,b)．2．证:：若，则n=am,2

4、m>1,这与是质数矛盾．3．证：不妨设这个有理数是若是整数，则，所以；由于(a,b)=1,所以a

5、b,故1=(a,b)=a．4．证：因为2

6、n(n-1)(2n-

7、1)（1）(两个连续整数中必有一个为偶数)．则n=3a+b,其中a,b为整数，且（2）当b=1时，n-1=3a,所以3

8、(n-1);当b=2时，2n-1=6a+3,所以3

9、(2n-1);当b=3时，n=3a+3,所以3

10、n;故3

11、n(n-1)(2n-1)(3)而(2,3)=1,由（1），（3）式知：6

12、n(n-1)(2n-1).5．证：假设m不是质数,则存在整数d,1

13、为n为奇数，设n=2m+1，其中m为整数；=4m（m+1），又2

14、m（m+1），故8

15、4m（m+1），即．9．证：m为奇数，，又，从而，其中q为整数，即或2，显然只能为1．10．证：是三个连续整数乘积，从而其中必有一个是3的倍数，故；又由于n为奇数，设n=2m+1，则；而（3，8）=1，故．11．证：设a=21n+4，b=14n+3，只要证存在整数x，y，使得ax+by=1即可，由于3b-2a=42n+9-（42n+8）=1，所以（a，b）=1，即（21n+4，14n+3）=1．