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1、指数为奇素数时费马方程无正整数解李新福阅注夏永祥(李新福阅注)湖南省湘潭县花石中心小学（411218)E-mail:xiashihuan@126.com摘要：首先，我们用桥数ｍ和格数ｋ来表示费马方程；然后证明了在桥数方程中，如果当ｋ为某一个大于1的正整数时，ｍ与ｙ同时有正整数解，则ｋ＝１时的基元方程中，ｍ与ｙ也一定同时有正整数解；接着证明了在基元方程中，ｍ，ｙ不可能同时有正整数解，从而完成了对费马大定理的最终证明．关键词：数论；费马大定理；正整数；素数0引言对于费马大定理，历时300多年，已经由英国的数学家威利斯（AndrewJo
2、hnWiles）于1994年解决，他是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明的．但证明过程之复杂，文字之长，不是一般人所能看懂的[1]．能否找到费马大定理的巧妙证明，仍然是现在业余数学爱好者所不懈追求的．陈景润在《初等数论Ⅰ》（科学出版社1978）第67-68页提到了，要证明费马大定理是正确的（即对时均不能同时有正整数解【其中(x,y,z,p)=1】李新福阅注），只需证和(为奇素数)均不能同时有正整数解[2]．其中不定方程中不能同时有正整数解他已经在此书中完成了证明（第68-70页）．所以在本文中，我们只证明指数为奇素
3、数时，均不能同时有正整数解．在本文中，为了表述的方便，我们将不定方程叫费马方程，符号表示正整数，符号表示正有理数，符号表示整数．1预备知识 在完成费马大定理的最终证明时，会要用到以下一些数学知识：1.1.二项式定理：（）[3]．1.2.设整系数高次方程的一般表达式是：在这个以为未知数的整系数高次方程中，设A为常数项所有约数（含负数）的集合，B为最高次项系数的所有约数（含负数）的集合，则的有理数根，一定属于集合；的整数根，一定属于集合[4]．1.3.费马小定理：设为一素数，而与互素，则必为11的倍数．此定理于1736年由欧勒得出其证
4、明[5]．1.4.引理1：如果费马方程中同时有正整数解，那么设格数[6]，桥数[7]，费马方程就可表示为：.【其中(x,y,z,p)=1;(m-k,y,y+k,p)=1】李新福阅注证明：因为都是正整数，并且………………①所以，且；如果设（），（），那么，，所以①式可表示为：．证毕．说明：为了表述的方便，我们把形于的方程叫桥数方程【其中(m-k,y,y+k,p)=1】李新福阅注．1.5.引理2：如果费马方程中同时有正整数解，那么它的桥数、格数均是正整数并且与、、的关系是：且.证明：根据引理1，因为，，所以，所以；又因为，为正整数，所
5、以，即．证毕． 1.6.引理3：如果费马方程有桥数，则桥数必定是正偶数． 证明：在费马方程中，的奇偶性分别由的奇偶性决定；当与同为奇数时（分别用表示），必为偶数（用表示）；所以根据引理2有，是偶数．同理，当与同为偶数时（分别用表示），必为偶数（用表示），所以，也是偶数．同理，当与一奇一偶时（分别用或表示），必为奇数（用表示），所以，或，也是偶数．综上所述，费马方程如果有桥数，则桥数必定是偶数，又因为是正整数，所以是正偶数．证毕． 11 1.7.引理４：当为奇素数时，二项式的次幂的展开式中各项系数除首尾两项外，中间各项的系数都能
6、被整除．证明：根据二项式定理，的展开式中第项的系数是，因为，所以的分母的所有因数均小于，所以如果不能被整除，则分子中的因数一定能与分母中的某一个不是１而又小于的因数约分，这与是奇素数矛盾，所以能被整除．证毕．说明：因为二项展开式各项的系数之和是，所以当是奇素数时，．1.8.一个正分数的（）次幂恒为正分数；一个正整数开（）次方不可能是正分数．证明：①设一个正分数为（）,且的标准分解式分别是（），（）．因为，所以分子各个因数与分母各个因数任意两个因数两两互素，所以与任意两个因素也两两互素，所以也是正分数．另：当时，因为且，所以也是正分
7、数．综上所述，所以一个正分数的（）次幂恒为正分数成立．②假设正整数开（）次方是正分数，设（，且），那么，等式左边是正整数，等式右边恒为正分数，正整数不等于正分数，所以假设不成立，即一个正整数开（）次方不可能是正分数．证毕．说明：因为一个正整数开（）次方不可能为负数、正分数和零，所以一个正整数开（）次方要么是正整数，要么是非有理数．1.9.引理５：当是任意确定的正整数时，如果（）有约数，且，那么是的正有理数倍，即（且）．{因为且;所以根据引理1，因为，=x+z-y，m是正整数;则是正整数;则i整除k;可设k=i;即m=w;11(m,
8、k)=(w,i)=()==;李新福阅注}证明：因为且，所以是正有理数，于是设，即（且）.因为是正整数，所以.如果设()，则，不一定有约数,于是设（且），所以：所以只要当有约数时，都有约数，即当是任意确定的正整数时，如果（且）有约数,则．证毕．说明：
