费马小定理 素数判定 蒙哥马利算法

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1、费马小定理素数判定蒙哥马利算法(强烈推荐）2009-11-0712:42费马小定理素数判定蒙哥马利算法约定：x%y为x取模y，即x除以y所得的余数，当x

2、整除A也可以整除B，那么C就是A和B的公因数。公倍数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以被A整除也可以被B整除，那么C就是A和B的公倍数。互质数：两个不同的自然数，它们只有一个公因数1，则称它们互质。费马是法国数学家，又译“费尔马”，此人巨牛，他的简介请看下面。不看不知道，一看吓一跳。http://www.cmr.com.cn/BasicStudy/LearnColumn/Maths/shuxuejiashi/j12.htm费马小定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N

3、的P次方除以P的余数是N)但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到，原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：(N*(N^(P-1)-1))%P=0请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）所以，N*(N^(P-1)-1

4、)是N和P的公倍数，小学知识了^_^又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P因为M是整数，显然：(N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1============================================积模分解公式先有一个引理，如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，则有：(X+Y)%Z=Y%Z这个不用证了吧...设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=(

5、(X%Z)*(Y%Z))%Z想了很长时间才证出来，要分情况讨论才行：1.当X和Y都比Z大时，必有整数A和B使下面的等式成立：X=Z*I+A（1）Y=Z*J+B（2）不用多说了吧，这是除模运算的性质！将（1）和（2）代入(X*Y)modZ得：((Z*I+A)(Z*J+B))%Z乘开，再把前三项的Z提一个出来，变形为：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）因为Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整数倍……晕，又来了。概据引理，（3）式可化简为：(A*B)%Z又因为：A=X%Z，B=Y%Z，代入上面的式子，就成了原式

6、了。2.当X比Z大而Y比Z小时，一样的转化：X=Z*I+A代入(X*Y)%Z得：(Z*I*Y+A*Y)%Z根据引理，转化得：(A*Y)%Z因为A=X%Z，又因为Y=Y%Z，代入上式，即得到原式。同理，当X比Z小而Y比Z大时，原式也成立。3.当X比Z小，且Y也比Z小时，X=X%Z，Y=Y%Z，所以原式成立。=====================================================快速计算乘方的算法如计算2^13，则传统做法需要进行12次乘法。/*计算n^p*/unsignedpower(unsigned

7、n,unsignedp){for(inti=0;i

8、两分开，指数除以2：((2*2)*(2*2))*(2*2)*2实际上最后一个括号里的2*2是这回又剩下的，那么，稍后再单独乘上它现在指数已经为1了，可以计算最终结果了：16*4*2=128优化后的算法如下：unsignedPower(