暑期培优：第四章 平面向量(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版

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1、明理辅导内部资料专题四、平面向量平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c

2、＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无

9、数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．17向量专题明理辅导内部资料[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC中，B为AC的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.2．若菱形ABCD的边长为2，则

10、－＋

11、＝________.1．向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．2．三点共线等价关系A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[练一练]1．D是△A

12、BC的边AB上的中点，若＝x＋y，则x＋y＝________.2．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.考点一向量的有关概念1.给出下列命题：①若

13、a

14、＝

15、b

16、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

17、a

18、＝

19、b

20、且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝

21、a

22、a0；②若a与a0平行，则a＝

23、a

24、a0；③若a

25、与a0平行且

26、a

27、＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是________．[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．17向量专题明理辅导内部资料解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．考点二向量的线性运算[典例]　(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．若条件变为：若＝

28、2，＝＋λ，则λ＝________.[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有________个．考点三共线向量定理的应用[典例]　设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[类

29、题通法]17向量专题明理辅导内部资料1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若＝λ，则A、B、C三点共线．[针对训练]已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．[练通考点]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量

30、．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的有__