第十五章 坐标系与参数方程(必记知识点+必明易错点+必会方法)xs.doc

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1、第十五章　坐标系与参数方程　第一节坐_标_系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离

2、

3、OM

4、叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，

5、半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a过点，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点

6、的坐标．[试一试]1．点P的极坐标为，则点P的直角坐标为________．2．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为________．1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤(1)运用ρ＝，tanθ＝(x≠0)(2)在[0,2π)内由tanθ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________．2．已知直线

7、的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，则极点到该直线的距离是________．考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1．(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．2．函数y＝sin(2x＋)经伸缩变换后的解析式为________．3．双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标为________．[类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲

8、线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二极坐标与直角坐标的互化[典例]　(2014·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcosθ－10(ρ>0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求

9、PQ

10、的最小值．[类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](20

11、14·合肥模拟)在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的位置关系是________．考点三极坐标方程及应用[典例]　(2014·郑州模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin(θ＋)＝2.(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcosθ＝3(ρ≥0,0≤θ<)交点的极坐标

12、.[类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[针对训练](2014·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．[课堂练通考点]1．(2014·南昌调研)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ与直线θ＝(ρ>0)所表示的