暑期培优：第六章不等式 (必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版2

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1、明理辅导内部资料专题六、不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x

2、xx2}{x

3、x≠－}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x

4、x1＜x＜x2}∅∅1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二

5、次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.[试一试]1．(2013·苏中三市、宿迁调研)设集合A＝{x

6、x2－2x－3≤0}，B＝{x

7、x2－5x≥0}，则A∩(∁RB)＝________.2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意

8、实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或18不等式专题明理辅导内部资料2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[练一练]若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．考点一一元二次不等式的解法[典例]　解下列不等式：(1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．[类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变

9、形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．[针对训练]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．

10、考点二一元二次不等式恒成立问题18不等式专题明理辅导内部资料一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0，(x∈[a，b])，确定参数范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.角度一　形如f(x)≥0

11、(x∈R)确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．角度二　形如f(x)≥0，(x∈[a，b])，确定参数范围2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围；角度三　形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围．[类题通法]恒成立问题及二次不等式

12、恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．18不等式专题明理辅导内部资料考点三一元二次不等式的应用[典例]　某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算

13、，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以