.二次函数的图象与性质b

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1、二次函数的图象与性质一、选择题1．（2016湖南怀化，7，4分）二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）【分析】根据a＞0确定出二次函数开口向上，再将函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4

2、）．故选A．2.（2016湖南永州，8，4分）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）A．m＜2B．m＞2C．0＜m≤2D．m＜﹣2【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故选A．3.（2016新疆内高班，7，5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）A．a＞0B．c

3、＜0C．3是方程ax2+bx+c=0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小【分析】根据二次函数的图象性质可以做出判断．【解答】解：（A）图象开口向下，所以a＜0，故（A）错误；（B）图象与y轴交点在y轴的正半轴，所以C＞0，故（B）错误；（C）因为对称轴为x=1，所以（﹣1，0）与（3，0）关于x=1对称，故x=3是ax2+bx+c=0的一个根；故（C）正确；（D）由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大；故（D）错误．故选（C）4．（2016四川资阳，10，3分）已知二次函数y=x2+bx+c与x

4、轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（　　）A．m=nB．m=nC．m=n2D．m=n2【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（x1，m

5、），B（x1+n，m），∴点A、B关于直线x=﹣对称，∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，∵b2=4c，∴m=n2，故选D．　5．（2016广西贺州，10，3分）抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图像大致为（　　）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，－5）D．（5，－2）【答案】B6．（2016江苏宿迁，8，3分）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣

6、1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（　　）A．x1=﹣3，x2=﹣1B．x1=1，x2=3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣3，x2=1【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．故选：C

7、．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题关键．7．（2016•四川达州，10，3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（　　）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而

8、判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在原点左侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个