《场论与复变》课件第8讲

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1、第八讲留数1.定义2.分类3.性质4.零点与极点的关系§5.1孤立奇点1.定义例如----z=0为孤立奇点----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点----z=1为孤立奇点定义~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的。2.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：特点：没有负幂次项特点：只有有限多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项定义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多

2、个负幂次项，称z=z0为m级极点;有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性质若z0为f(z)的可去奇点若z0为f(z)的m(m1)级极点例如：z=1为f(z)的一个三级极点，z=i为f(z)的一级极点。若z0为f(z)的本性奇点总结：孤立奇点类型判断方法：根据洛朗级数中负幂项个数判断：不含负幂项--〉为可去奇点；只含有限个负幂项--〉极点；含无穷个负幂项--〉本性奇点根据函数在奇点处极限取值判断：存在且有限--〉为可去奇点；--〉极点；不存在且不为无穷大--

3、〉本性奇点4.零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成则称z=z0为f(z)的m级零点。例如：定理事实上，必要性得证！充分性略！例如定理:证明“”若z0为f(z)的m级极点5.函数在无穷远点的性态推广到扩充复平面，讨论无穷远点的性态：定义如果函数f(z)在无穷远点的去心邻域内解析，那么称为f(z)的孤立奇点。研究方法：作变换：，并且规定，该变换把扩充z平面上的去心邻域映射成扩充t平面上原点的去心邻域。则：这样，把在去心邻域内对函数f(z)的研究转化为在去心邻域内对函数的研究。函数在去心邻域是解析的，所以t=

4、0是的孤立奇点。规定：如果t=0是的可去奇点，m级极点或本性奇点那么，是f(z)的可去奇点，m级极点或本性奇点。f(z)在圆环域中展开成洛朗级数：（式）则（式）t式不含负幂项，有限负幂项和无穷负幂项时，t=0分别是的可去奇点，m级极点和本性奇点。按照前面的规定，以及(t式)和(式)之间的倒数关系可知：如果在(式)中不含正幂项，有限正幂项和无穷正幂项那么，是f(z)的可去奇点，极点和本性奇点。问题：无穷大是不是函数的孤立奇点？例1：是sinz的本性奇点例2：是的一级极点判决方法：求倒数，判决t=0是不是孤立奇点例解显然，z=i是

5、(1+z2)的一级零点综合1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则§5.2留数(Residue)1.留数的定义定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留数定义,Res[f(z),z0]=c–1(1)2.留数定理定理证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：用2i除上式两边得:得证！求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。一般求Res[f(z),z0]是采用将f(z)在z0邻域内

6、展开成洛朗级数求系数c–1的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。以下就三类孤立奇点进行讨论：3.留数的计算规则规则I规则II事实上，由条件当m=1时，式(5)即为式(4).规则III事实上，例1解例2解例3解例4解故　由留数定理得：(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。如是f(z)的三级极点。---该方法较规则II更简单！(2)由规则II的推导过程知，在使用规则II时，可将m取得比实际级数高，这可使计算更简单。如函数在无穷远点的性态无穷远点的留数留数定理留数计算规则IV-RRxyCR0z2z3z

7、1根据留数定理得：作业P1831（1）（4）（7）68（2）（4）（6）（8）9（1）（2）（5）1213（1）（3）（5）