《场论与复变》课件第6讲.ppt

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1、第六讲解析函数与调和函数的关系在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。内容简介§3.7解析函数与调和函数的关系定义定理证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：如定理公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函

2、数与解析函数的关系。例1解曲线积分法故又解凑全微分法又解偏积分法又解不定积分法1.复数列的极限2.级数的概念第四章级数CH4§4.1复数项级数1.复数列的极限定义又设复常数：定理1证明2.级数的概念级数的前面n项的和---级数的部分和不收敛---无穷级数定义设复数列：例1解定理2证明由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。性质定理3证明?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4解例2例3解练习：1.幂级数的概念2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质§4.

3、2幂级数1.幂级数的概念定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）证明(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平

4、面上除z=0外处处发散。显然，<否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故播放(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.4.收敛半径的求法定理2(比

5、值法)证明定理3(根值法)定理3(根值法)定理2(比值法)例1解综上例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的。综上该级数发散。该级数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的.5.幂级数的运算和性质代数运算---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算---幂级数的代换(复合)运算幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3解代换解代换展开还原分析运算定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算作业P10330(1)(2

6、),31P1411(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)