第12章简单回归分析2

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1、田玉慧新乡医学院公共卫生学院3831801第十二章简单回归分析simpleRegressionanalysis第一节简单线性回归(LinearRegression)一、线性回归的概念及统计描述“回归”是个借用已久因而相沿成习的名称。若某一变量（Y）随另一变量（X）的变动而变动，则称X为自变量(independentvariable)，Y为应变量(dependentvariable)。这种关系在数学上被称为Y是X的函数，但在医学领域里，自变量与应变量的关系和数学上的函数关系有所不同。回归模型的类型一个自变量两个及两个以上自变量回归模型多元回归一元回归线性回归非线性回归线性回

2、归非线性回归实例例：为探讨某地饮水中氟含量与氟骨症的关系，试对测量得到的下列8对数据进行直线回归分析。氟含量(mg/L)X：0.48，0.64，1.00，1.47，1.60，2.86，3.21，4.71患病率(%)Y：22.37，23.31，25.32，22.29，28.57，35.00，46.07，46.08由上图可以看出：氟含量与氟骨症患病率之间存在着一种依存变化的关系，氟骨症患病率随氟含量的增长而增高，并且呈直线趋势，但各点并非恰好都在直线上。强调这一区别，统计上称这是氟骨症患病率在氟含量上的回归，即线性回归，也称简单回归(simpleregression)。线性回

3、归分析的任务就是建立一个描述应变量依自变量而变化的直线方程(linearequation)。一元线性回归模型（概念要点）对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为y=b0+b1x+e模型中，y是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性0和1称为模型的参数由样本得到的一元回归模型线性回归分析目的；在因变量和自变量之间建立一个数学模型，根据这个模型可以根据自变量的变动预测因变量的变动。应注意的问题：1.建立模型的目的2.谁将

4、用这个模型3.建立模型用的资料是否合适4.如何利用模型（放后边讲）三、回归参数的估计（一）直线回归方程的概念：一般形式是：式中：(Yhat)为由X推算得来的Y值，即Y的估计值；a称为截距(intercept)，它是当X=0时的值，即回归直线与纵轴的交点；b称为回归系数(regressioncoefficient)，即回归直线的斜率(slope)，其含意是当X每增加一个单位时，Y相应增（或减）b个单位。（二）直线回归方程的求法求直线回归方程就是确定一条直线，使各点与该直线纵向距离的平方和为最小，即Σ[Yi-(a+bX)]最小。按这个要求计算回归方程的方法称为最小平方法或最小

5、二乘法(leastsquaremethod)。而且，该直线必须通过坐标点()。残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回归线上的估计值的纵向距离。求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表数据点分布趋势的直线。原则：最小二乘法(leastsumofsquares)，即可保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。回归参数的估计——最小二乘原则最小二乘法（图示）xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾1.画散点图，由散点图可看出：1）.两个变量间关系的性质（是正相关还是负相关）和程度（是相关密切还是不

6、密切）；2）.两个变量间关系的类型，是直线型还是曲线型；3）.是否有异常观测值的干扰。2.用最小二乘法原理确定两个系数a，b，得到：当a与b求得后，直线回归方程就确定了。实例例：为探讨某地饮水中氟含量与氟骨症的关系，试对测量得到的下列8对数据进行直线回归分析。氟含量(mg/L)X：0.48，0.64，1.00，1.47，1.60，2.86，3.21，4.71患病率(%)Y：22.37，23.31，25.32，22.29，28.57，35.00，46.07，46.08求直线回归方程：1.由原始数据绘制散点图，观察两变量间是否有直线趋势；2.求∑X、∑Y、∑X2、∑Y2、∑X

7、Y∑X=15.97、∑Y=249.01∑X2=47.03、∑Y2=8468.78、∑XY=594.483.4.求b,a：b=lXY/lXX=97.39/15.15=6.43a=31.13-6.43×2.00=18.27故所求直线回归方程为：5.画回归直线：在自变量范围内取两点不能太近直线回归方程的图示四、总体回归系数β的显著性检验回归系数的检验即回归方程的检验，其目的是推断总体中X、Y两变量间是否存在直线回归关系。因为，即使总体回归系数β=0，由于抽样误差的影响，b也可能不等于0，因此，需进行总体回归系数β是否为0的假设检验。