理工大学高数上学期复习

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1、高等数学第一章函数、极限与连续一、函数1.函数分类概念分类类型分类研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。分析性质：极限、连续性、可微性、可积性2.例题（仅限于对应）引例，求解例1，求。解33例2，且，求，并写出定义域。解，。例3设满足，其中均为常数，且，求的表达式。解，消掉得。小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略（本类题考率三年一次）。3.习题1．设，则1。2．设，则（D）（A）（B）（C）（D）3．设

2、，则（B）（A）0（B）1（C）（D）。4．是（D）33（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数1．设连续，则下列函数中为偶函数的是（D）。（A）（B）（C）（D）二、极限1．内容总结1）基本型：型，2）等价代换当时，，，3）重要极限（）其他极限不存在例：4）用泰勒公式求极限5）用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2、例题基础题目1．（型）；（型）；2．（等价代换）33；（）（注意的处理。，。）3．幂指4．泰勒公式（注对泰勒公式只需熟悉展开式）5．夹逼定理与单调有界1）[]表示取整函数33解1当

3、时，，，故当时，，，故从而解2，表示小数部分2）对于数列，已知，，证明。证：由归纳法易证，，又，即当时有下界同时，即单减，从而收敛。设，对递推式取极限得，解得，（舍）。注：为两点递推式，写成连续型函数，若，则为单调数列，若，则不是单调的，据此可以调整证明目标。3、专题训练类题目1）．重要极限与幂指型极限例133例2例32）等价代换例1例2例33）反问题例1，求值33解原式，故。例2，求。解原式，由此，有回代原式例3，求。解当时，，故，则从而，由此。三、连续函数1．定义：，称在点连续。（本质上）2、问题分类1）讨论函数的连续性2

4、）指出函数间断点，且分类3）介值定理应用4）连续性应用（）3、例题例1讨论的连续性。33解当时，考查三点；（除以上三点外，函数连续）；，为第一类间断点；是第一类间断点（可去间断）同法；，是第一类间断点。例2设，讨论的间断点及其类型。解在点，为可去间断点。在点不存在，为第二类间断点（无穷间断点）。例3设在点连续，求与的关系。解，，于点连续，则。例4证明，恰有三个实根证令，则于上连续，而，，，由零点存在定理，，，使即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。33例5设在上连续，且

5、对都使，证明在上。证：在上连续。则有界，即，使。又，使，故又使，同理，使令，则有。例6设在上连续，且，证明，使。证设，假设，则，，相加，与矛盾，即恒大于0，不可能。同理（恒）也不可能，即必有大于0的点，也有小于0的点，由连续性和介值定理，，使，即。第二章一元函数微分学及其应用一、导数概念的三类问题1．“分析”形式问题例1在处可导，求。解原式33例2可导，，。求。解原式。例3设在点可导，且，求。分析：例4设有导数，且，求。分析：原式例5设是周期为5的连续函数，且于的某邻域内满足……（*）其中是当时比高阶无穷小量，且于处可导，求曲

6、线于点的切线方程。分析：由(*)式，令（凑定义）：令，，。切线方程：，。2．“隐式”导数问题例1在点连续，且，求。解，由分母，则（连续）则33例2设曲线在原点与相切，试求极限。解在点两曲线相切，，。3．导数物理解释问题（速度，变化率）（相关变化率）例1有一底半径为Rcm，高为h的锥形容器，现以Acm/s的速率向容器内注水，试求当容器内水位上升到时，水面上升的速率和液面面积的变化率。解设坐标系如图令，则；令，则。注：体会物理解释，“以速率注水”，“水面上升速度““面积变化率“例2一动点P在曲线上运动。已知P点横坐标的速率位30c

7、m/s。当P点运动到点时，从原点到P点的距离的变化率是多少？（设坐标轴长度单位为1cm）。解方程两边对求导，得，。记，则，对求导，得33，。例3设雨滴为球状体，若雨滴聚集水分的速率与其表面积成正比。证明雨滴半径增加的速率为一常数。证,,则。二、导数计算（的四个重点）重点掌握：隐函数求导（含二阶导数）；分段函数求导；积分上限函数求导；参数方程所确定函数求导。1．复合函数求导）例1，求。解；例2，，求。解，例3，求。解法（1）方程两边对求导。法（2）＝，，。2．隐含数求导例1．，求。解，两边对求导得整理……(1)……(2)(1)两

8、边对求导：，33例2．设，求。解令得，方程两边对求导：……（1）由（1）得。对（1）再求导得：……（2）当时，，代入（2），。3．参数方程求导,.例1.，求，，。解，，。例2．且，求。解，。例3．设是由方程组所确定的函数，求。解，方程两边对微分得从而，，，。＝33将代入得。4