高数上总复习.docx

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1、高数上册总复习一、极限的计算1）代入法（根据初等函数在其定义区间是连续的2）极限的四则运算3）复合函数求极限limfxfx0）xx0limfufu0,limxu0uu0xx0limfxfu0limfuflimxxx0uu0xx04）两个重要准则：夹逼准则、单调有界准则5）两个重要极限：limsinx,lim11x1ex0xxx6）等价无穷小的替换：x0时，xsinxtanxarctanxarcsinx1exln1x1cosx12x27）有界量与无穷小的积还是无穷小。8）洛必达法则（处理未定式）9）利

2、用定积分的定义计算极限。10）利用极限的定义（N定义、X定义、定义）例题：1）求极限limcos3xcosxctg22x。（2000年）x解：原式limxlimxcos3xcosxlim2sin2xsinxtan22xtan22xx2cos22xsinx2limsinxsin2x1x2sinxcosx2）下列极限等式中，正确的是（C）（2000年）1A、lim11B31x211；xxe；、limx0x0xarcsinx3C、limx21x2x1；D、limx3x221；x2x2x12x13）设函数f

3、x1x1x0，在x31x10点连续，则AAx0（A）（2000年）A、3；B、1；C、2；D、0；234）（本题8分）设fxsin1x0，试根据xx和取值的不同exx0情况，讨论fx在x0处的连续性。（2000年）解：limfx100，limxsinx不存在0x0x0limfxlimex1f0，0,1时，fx在x0x0x0处的连续。5）极限x0ln12x2的值为（C）（2002年）ln13x2limA、0；B1C、2；D、不存在；、；36）设fxcos2x,x0，则f0的值为（A）（2002年）2x2

4、1x0A、0；B、1；C、2；D、不存在；1sin2xsinx7）设fxxeex0在x0处连续，则a1。ax0（2002年）28）已知limsin3xab0求常数a,b的值。（其中考试）x3x2x0解：0limx2sin3xablimsin3xa3aa3x3x2xx0x00limsin3xabsin3x3xblim3cos3x3x3x2limx33x2bx0x0x0lim3sin3xb9bb92x22x09）求fxln1x1x01间断点，并判定其类型。（其中考试）ex1x011解：因为limfxlim

5、ln1x0,limfxlimex1ex0x0x0x0所以x0是fx的跳跃间断点；11因为limfxlimex10,limfxlimex1x1x1x1x1所以x1是fx的第二类间断点。xx2110）求极限limx2ex11（其中考试）x0xx21x12e21xxxe2解：原式lim12ex122ex12x011）（本题10分）设fxlimx2enx1axbnZ为可导函数，试1enx1n确定常数a,b的值，并求出fx。（期中考试）3x2x1解：fab11，因为可导一定连续，所以limfxf1x2xx1ax

6、bx11aab1b1。所以我们有f11。再考虑x1处的b2a可导性f1limf1hf11h212hlimhh0h0f1limf1hf1lima1hb1ah0hh0h所以a2,b1。13）计算xt2et2x2dtlim0（作业）xxex2xt2t2x2t2解：原式lim0edtlim0tedtxx2xxxe2x2x21limxelim2x2x22x212xex2xe14）计算limm1xn1x（课本）x0x1解：原式1xm11xlimxxx01n1mn15）计算limtanx（课本）xtan3x2解

7、：原式limcot3xlim3csc23x3xcotxxcsc2x22二、导数和微分的计算41）导数定义及求导基本公式。必须记住求导基本公式！！！！2）求导四则运算法则：uxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxvxvxuxvxv2vx0x3）复合函数求导法则：fxfxx4）隐函数求一、二阶导数（对数求导法）5）参数方程求一、二阶导数：设xx，则yxtdytd2ytdxt,tdx26）求函数的微分(定义、基本公式、一阶微分的不变性)7）高阶导数8）积分上限函数求导例题：1）已知ylncosx21

8、，则dy（D）（2000年）A、1dx；B、tgx21dx；cosx215C、tgx21dx；D、xtgx21dx2x21x212）设x2t3,y1t3，求dy。（答案：2）（2000年）1t1tdxt13）设函数yyx由方程exy2xy所确定，求d2y。（答案：-1）dx2x0（2000年）4）设5）设yfx，f可微，则yx=。（2002年）ysinxlnxx3tanxcose，则dy。（2002年）6）（本题6分）设y10x2，求y。（2002年）