[工学]高数上总复习

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1、高等数学（上）总复习第一章函数与极限内容提要与典型例题1.理解函数的定义与特性：函数的三要素——定义域、值域、法则；四种特性——有界性、单调性、奇偶性、周期性。一、函数注意常用函数：复合函数、分段函数、初等函数2.会求函数的定义域及函数表达式二、极限1.理解数列的极限的定义及性质；2.理解函数的极限的定义及性质；不存在注意一个结论：应用：当分段函数在分段点左、右两侧表达式不同时，求函数在分段点的极限3.理解无穷小与无穷大的概念，无穷小的阶的概念；会进行无穷小的比较。特别注意：等价无穷小无穷小与极限的关系：

2、其中为时的无穷小量.（1）利用极限的运算法则4.极限的计算——可简化求极限的过程设且x满足时,则有（≠0，≠0，m,n为非负整数).f)幂指函数的极限运算（2）利用连续函数的性质求极限（3）利用无穷小的运算性质a)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。b)有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。c)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（4）利用等价无穷小的替换简化计算:（5）利用重要极限或注:代表相同的表达式（6）利用极限的存在准则夹逼定理单调有界数列必有极限（7）洛必达法则——求不定式的极限注意:应用洛必达法则的

3、条件：为有限数A(或为)方法：若但此时又要注意若出现循环形式就要另谋他法了。例计算下列极限三、连续1.理解函数连续的定义；在的某邻域内有定义,则称函数设函数且函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;对自变量的增量有函数的增量左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:注意：极限与连续的关系:极限连续连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数.第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为

4、无穷间断点.为振荡间断点.2.会判断函数在一点是否连续性，若是间断点能够指出间断点的类型。3.理解闭区间上连续函数的性质（1）有界性与最大值最小值定理（2）零点定理与介值定理第二章导数与微分一、导数与微分的概念1.导数的定义设函数在点存在,并称此极限为则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.记作:2.导数定义的三种形式例：设函数，求曲线在点的切线斜率为切线方程:法线方程:3.导数的几何意义4.左导数与右导数在点的某个右邻域内若极限设函数有定义,(左)则称此极限值为在处的右导数,记作存在,(左)

5、定理函数在点且可导的充分必要条件是注：求分段函数在分段点的导数要用导数的定义例设函数为了使函数在处连续且可导，应取什么值?的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即在点可微,5.微分的定义定理:函数在点可微的充要条件是即求微分的方法函数连续函数可导有极限函数可微二、熟练应用公式及法则求函数的导数及微分1.求下列函数的导数2.求隐函数的导数及微分例设函数由方程所确定，求第三章导数的应用1.微分中值定理及其相互关系泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理2.微

6、分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论解题方法:利用逆向思维,设辅助函数,一般证明含一个中值的等式或根的存在,(3)若结论中涉及含中值的两个不同函数,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.(2)证明不等式多用拉格朗日中值定理例证明不等式：当时，公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.二、泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当带有佩亚诺(Peano)余项的n阶泰勒公式.称为麦克劳林(

7、Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取二、利用导数研究函数的性态：讨论函数的单调区间可以按以下步骤进行：1）确定函数的定义域；2）求，找出和不存在的点，以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；3）在各个区间上判别的符号，以此确定各区间上的单调性。的连续性及导函数例填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;.在区间上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所

8、示,3.求函数的极值、最值：极值——函数在定义域内部局部的最值极值点——定义域内增、减区间的分界点求函数极值点的方法：（极值第一、第二判别法）二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.(极值第二判别法)判断驻点是否是极值点最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最