[高等教育]高数上期末总复习

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1、高数(上)期末总复习函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数函数:主要内容函数极限及连续典型例题例1解法讨论解:例2解例3解求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分主要内容导数与微分典型例题例1解:或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，则f(x)=g(x)+xg(x)，f(0)=g(0)+0=100！。例2解例3解:例4解:两边取对数例5解例6解例7解:洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式C

2、auchy中值定理Taylor中值定理主要内容导数的应用(一)例1解典型例题0；0；2/.导数的应用(二)典型例题例1最大值例2解：例3例4证例5证明例6解若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为例7解奇函数列表:极大值拐点极小值作图练习积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分主要内容不定积分基本积分表是常数)四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式典型例题例1解例2解例3解(倒

3、代换)例4解解得例5解例6解例7解例8解例9解练习[注]或当a=0，b≠0时当a≠0，b=0时计算其中a，b是不全为0的非负常数解当a≠0，b≠0时计算求解原式=求解原式=求解令则从而求解法1原式=解法2原式=计算不定积分解法1原式=解法2令原式=计算解原式=计算分部积分或三角代换答案测验题测验题答案典型例题例1.计算解:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.定积分例2.计算解:设,且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则d

4、u=dt,v=et.于是：例3求解:这是一个型未定式。可看成以u=cosx为中间变量的复合函数。例4计算下列积分.解：1原式=2此题用第二换元法(换元换限不换回)。令，则1+lnx=t2,.故原式=)tx=+ln11.2.例5若f(x)在[0,1]上连续，证明证明：设,则dx=–dt,且当x=0时，；时，t=0.于是注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形定积分的应用如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数极坐标情形(2)体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的

5、弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo(5)细棒的质量(6)转动惯量(7)变力所作的功(8)水压力(9)引力(10)函数的平均值(11)均方根二、典型例题例1解由对称性,有由对称性,有由对称性,有例2解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例3在第一象限内求曲线上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积。解设要求的点为（x1，y1），y1=-x12+1,过（x1，y1）的切线方程为令x=0,y=0得切线的截距:于是，所求面积为唯一

6、驻点:解在点处的切线l方程为即所围面积令得t=1。又故t=1时，S取最小值。此时l的方程为求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的图形面积最小。故此切线方程为又因该切线过点P（1，0），所以即从而，切线方程为因此，所求旋转体的体积解设所作切线与抛物线相切于点，因过点P(1,0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成的体积。1.求曲线所围的面积.1)求交点.2)算面积.2.设平面区域D由x=0,x=1,y=a(o

7、线x=2旋转一周所得旋转体的体积。A的两条边界曲线方程分别为及x=y相应于[0,1]上任一小区间[y，y+dy]的薄片的体积元素为于是所求体积为解A的图形如下图所示，取y为积分变量，它的变化区间为[0,1]，所确定,4.曲线和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。解在[1，2]上取积分元素，得求由曲线y=x2-2x,y=0,x=1,x=3所围平面图形分别绕x和y轴旋转一周,所得的旋转体体积.5.计算曲线上相应于的一段弧的长度。解6.求摆线一拱（0≤t≤2π）的弧长S。解7.求心形线的全长，其中a>0是常数。解由对称性得8.半径为R的

8、球沉入水中,求得上部与水面相切,球的比