高二数学选修2-2导数精析(含答案)

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1、高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y＝sin（tanx2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y＝s

2、in43xcos34x的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．例3求y＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4c

3、os3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y＝（0＜A＜【解法一】y＝（0＜A＜∴y＝＝sin（）＋cos（）＝2[sin（）＋cos（）]＝2sin（）＝2cosy′＝(2cos)′＝－sin．【解法二】y′＝()′＋()′＝(1－sinA)(－cosA)＋(1＋sinA)cosA＝∵A∈（0，）＝[（cos－sin）－（cos＋sin）]＝－sin．【解法三】∵0＜A＜y＝＋＝（

4、cos－sin）＋（cos＋sin）＝2cos．y′＝－sin．【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－，－），过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为＝．三、经典例题导讲[例1]已知,

5、则.错因：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.正解：设,,则.[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？错解：。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.解：　　　　　　∴f(x)在x=1处不可导.注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]

6、求在点和处的切线方程。错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：即过点的切线的斜率为4，故切线为：．设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：点评：要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．[例4]求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.分析：由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只

7、要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.（2）令，得，当时，；当时，，曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。点评：在已知曲线切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.[例5]已知，函数，，设，记曲线在点处的切线

8、为.（1）求的方程；（2）设与轴交点为，求证：　①；　　　　　②若，则分析：本题