高等数学下册总复习

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1、一、基本概念1．多元函数（1）知道多元函数的定义元函数：（2）会求二元函数的定义域1°：分母不为；2°：真数大于；3°：开偶次方数不小于；4°：或中≤（3）会对二元函数作几何解释2．二重极限这里动点是沿任意路线趋于定点的．（1）理解二重极限的定义（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）．3．多元函数的连续性（1）理解定义：．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏导数与全微分1．偏导数（1）理解偏导

2、数的定义（二元函数）（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数．2．高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：．3．全微分（1）知道全微分的定义若可表示成，则在点处可微；称为此函数在点处的全微分，记为．（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（，；）偏导数存在，不一定可微（是否为）．偏导数连续，全微分必存在．方向导数、梯度，只对快班要求．三、多元复合函数与隐函数求导法则1．多元复合函数的求导法则（1）（2）对于

3、函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法．2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形若确定了，则；若确定了，则，．（2）方程组的情形若能确定，则由可解出与；若确定了，，象上边一样，可以求出，及，．四、多元函数微分法的应用1．几何应用（1）空间曲线的切线与法平面方程1°：曲线：，，，时，上相应点处的切线方程：法平面方程：2°：曲线：，则点处的切线方程：法平面方程：3°：曲线：，则点处的切线方程为法平面方程：（2）空间曲面的切平面与法线方

4、程1°：曲面：，点处的切平面方程为：法线方程：2°：曲面：，在点处的切平面方程为：法线方程为：2．极值应用（1）求一个多元函数的极值（如）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的，与；，时有极大值，时有极小值；时无极值．（2）求最值1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较；2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值求一个多元函数在一个或个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．如：在条件与下的极值时，取解方程组，求出，，则就是可能的极值点；再依具体问题就可判定为极大（或极小）值点．第九章重积分一、二重积分1．定义：2．几何意义

5、：当≥时，表示以曲面为顶，以为底的曲顶柱体体积．物理意义：以为密度的平面薄片的质量．3．性质1°：2°：3°：若，则4°：时，5°：若在上≥，则≥≥6°：若在闭区域上连续，且≤≤，则≤≤7°：（中值定理）若在闭区域上连续，则必有点，使4．二重积分的计算法（1）在直角坐标系中1°：若积分区域为型区域：则化为先后的二次积分：2°：若积分区域为型区域：则化为先后的二次积分：（2）在极坐标系中,1°：极点在外：：则有2°：极点在的边界上：：则有3°：极点在内：：则有在计算二重积分时要注意：1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；

6、被积式含有或两个积分变量之比、时，一般可选择极坐标系．2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）．3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：关于轴（或轴）对称时，应配合被积函数对于（或）的奇偶性．4°：若，积分区域:,则二重积分可化为两个定积分的乘积。第十一章无穷级数一、常数项级数1．基本概念（1）定义：形如的无穷和式，其中每一项都是常数．（2）部分和：（3）常数项级数收敛（发散）存在（不存在）．（4）和（存在时）．注：发散级数无和．（5）余项：当时，称级数为原级数第项后的余项．2．

7、基本性质（1）与敛散性相同，且若，则；（2）若，，则推论1：若收敛，发散，则必发散；推论2：若与都发散，则不一定发散．（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）．（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）（1）若级数收敛，则必有．（若，则必发散）1．几个重要的常数项级数（1）等比级数；（2）调和级数发散；（3）级数（），时收敛，≤时发散）；（4）倒阶乘级数收敛．2．常数项级数的审敛法（1）正项级数的审敛法设与均为正项级数1°：收敛有界；2°：比较法若收敛（发散），且≥

8、，（≤），则收敛（发散）．推论1：若，，则与具有相同的敛散性．推论