高中数学异面直线距离(教师用)

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1、求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。方法一、定义法也叫直接法，根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则

2、平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。例1已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得ABHDCEFCD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，DH=。即异面直线CD与AE间的距离为。例2如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例2题图(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD

3、间的距离；(3)求EF和AC所成角的大小.(1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在Rt△BEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.(3)过E点作EG∥AC交BC于G，因为E为AB的中点，所以G为BC的中点.所以∠FEG即为异面直线EF和AC所成的角.13在△FEG中，EF=,EG=,FG=,cos∠FEG=.所以∠FEG=45°所以异面直线EF与AC所成的角为45°．例3正方体

4、ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。取BC的中点P，连结PD，PB1分别交AC，BC1于M，N点，易证：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1，　∴MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证：MN=B1D=a。例4、正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心．∵SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，根据①、②可知OH是AC与SB的距离．∵OH·SB＝SO·OB，13　方法二、转化为线面距离若a、b是两

5、条异面直线，过b上一点A作a的平行线C，记C与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。例1Ｓ为直角梯形ABCD所在平面外一点，，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=，AD=2，求异面直线SC与AB间的距离．解：如图，设Ｆ是AD的中点,连结SF、CF,则AB∥CF.故AB∥平面CFS　　故直线AB到平面CFS的距离就是异面直线SC与AB间的距离，　　在平面SAF内作AE⊥SF，垂足为E，易知AB⊥平面SAF，ABCEFＳＤ图故CF⊥平面SAF.∴CF⊥AE.从而AE⊥平面CFS,故AE为直线AB到平面CFS的距离,即SC与AB间距离.在中,易得AE=．思考，与

6、方法一的思路是否统一？例2如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。FCPAGβBαQEHD思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD

7、=VC-ABD，得h=方法三、体积法：体积法实质也为线面法本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。例1：正方体，求AC与BC1的距离13当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距离为h，则　　∵h·(a)2=·a·a2,　　∴h=a，即AC与BC1的距离为a。例2设长方体的三边长为AB＝5,BC＝4,＝3,求AB和之间的距离.C1ABDA1B1D1图３解:如图4,由AB∥,