异面直线的距离教学案例分析

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1、异面直线的距离教学案例分析瑞安十中李春城课前分析：本节课是高中试验新教材高二下册B本中9.8距离这一本节中的一个课时，是在学生学习了点面、线面、面面距离的基础上来学习异面直线间距离的第一课时，在9.8节中空间距离的求法是本节的核心内容，而求空间距离的核心方法是转化的思想方法，即把空间的线面距、面面距转化为点面距，进而转化为线段的长。而本节课时的异面直线间的距离也是转化的思想在数学中一个体现，我们要通过一步步的分析，使学生明确知道一般求两条异面直线距离的转化方法有直接找公垂线法，转化为线面距离、面面距

2、离以及利用公式d2＝l2＋m2＋n2±2mncos等方法。再通过几个例子的讲解使学生理解如何在具体题目中实现问题的转化。具体教学过程如下：一、异面直线间距离的定义1、引入：师：设直线a与b是异面直线（如图）在前面我们学习异面直线的夹角的时候，我们已经知道可以过b上的一点o作直线a的平行线a’与b交于点o，这里的直线a’与直线b是相交直线，我们研究了它们的夹角也就是a与b的夹角，而现在我们看a与a’这两直线的关系，实际上是两条平行线的平移，而平行直线我们知道它们是有距离的。因此从这点上来讲，两条异面直

3、线是既有夹角又有距离的。今天，我们就来学习如何求异面直线之间的距离。2、定义：师：首先我们看两条异面直线a与b上任意两个点之间距离是不确定的，我们要找一个能确定的量作为异面直线的距离。我们注意到直线a上的任一点到直线b的最短距离是垂线段，反过来直线b上的点到直线a的最短距离也是直线a的垂线段，所以我们就提出第一个问题：问题一：同时垂直于两条异面直线的直线有几条？生：有无数多条，因为垂直于上图中的平面的直线都垂直于直线a和b。师：好，接下来，我们就来看这么多的直线中有没有比较特殊的某一条直线，因为我们

4、注意到一般地距离指的都是垂线段的长度也就是与直线a，b都要相交。因此就提出第二个问题：问题二：在这无数条与异面直线a，b都垂直的直线中有几条同时与a，b都相交？生：如图，a，b是异面直线，若同时有两条直线AB、CD与a，b垂直且相交，则在直线b上任取一点O过O作直线a’∥a，则a’与b可确定一个平面α，易知AB⊥a’，CD⊥a’，AB⊥b，CD⊥b，∴AB⊥α，CD⊥α，从而AB∥CD，∴AB与CD共面，即a，b共面，这与a，b是异面直线矛盾，因此同时与两条异面直线垂直而且相交的直线只有一条，师：很

5、好，这条直线我们就称为这两条异面直线的公垂线，其夹在异面直线之间的部分就叫做两条异面直线的公垂线段。另外，我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段长度是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条，这由同学们自己证明。这样，我们就把两条异面直线的公垂线的长度叫做两异面直线间的距离。3、异面直线间距离的求法举例例1，如图正方体ABCD－A’B’C’D’的棱长为a，求下列开面直线间的距离：（1）BC与AA’；（2）A’B与CC’；（3）AD’与BC’；（4）A’D与AB答案：（1）AB＝a；（2）BC＝a

6、；（3）a；（4）a例2，如图空间四边形ABCD边长为a，连对角线AC、BD，且AC＝BD＝a，E，F分别为AB、CD的中点，（1）证明：EF是异面直线AB、CD的公垂线；（2）求异面直线AB与CD的距离。二、异面直线上两点间距离的计算：师：下面请同学继续回答第三个问题：问题三：“影响异面直线上两点间距离的因素有哪些？”生：有三种因素：1．异面直线的距离；2．两点在直线上的位置；3．两条异面直线所成的角．师：很好．下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上两点的距离，确定了这三点是不是距

7、离就确定了．（取出两根细木棍，为叙述方便，称两点为A、B．演示上述三个方面变化对两点距离的影响．如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决）师：通过演示，可以看出，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制这三个因素．一是异面直线的距离——用公垂线段的长控制．二是两点在直线上的位置——用点到公垂线垂足的距离控制．三是两条异面直线的方向——用两直线所成角控制．下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式．（板书）已知两条异面直线a，b所成角为θ，它们的公垂线段AA′，长度为d．在直线a

8、，b上分别取点E，F，设A′E=m，AF=n，求EF．师：要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托．选择什么样的平面呢？结合已知仔细想一下．生：因为两条异面直线所成的角是要作出来才好用的，所以选择过直线b且与直线a平行的平面．过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线a′∥a，则a′，b确定平面α．师：这个平面选的好．因为AA′⊥a，所以AA′⊥a′，又AA′⊥b，所以AA′⊥α．下面我们作出这个图形，来求解EF．师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中