高中数学异面直线夹角自编

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1、浅谈异面直线所成的角第13页共13页异面直线所成角的求法求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公式法。一、几何法：几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例：长方体AB

2、CD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=∴∠DB1E=。解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1

3、BE=，∴∠C1BE=。第13页共13页课堂思考：1.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。ABCD2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，求DB和AC所成角的余弦值.例2题图【例2】如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.中位线平移法分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BO

4、E为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE=∴∠BOE=解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥第13页共13页C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=，∠OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为。解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△AD

5、F中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。课堂练习1．在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。补形法分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，∠C1BD2=－，第13页共13页∴异面直线DB1与BC1所成的角是。课堂练习：求异面直线A1C1与BD1所成的角在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上

6、一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，  二、矢量法。利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。常有向量几何法和向量代数法两种。解法一：如图⑦，连结DB、DC1，设异面直线DB1与BC1所成的角为，，而=()=+=〈，〉+〈，〉∵　BB1∥DD1∴〈，〉=〈，〉=∠D1DB1第13页共13页∠D1DB1=〈，〉=180°－∠DB1C1∵∠DB1C1=∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7∴=，解法二：如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，3，0

7、），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。设和的夹角为，则=∴异面直线与所成的角为。课堂练习：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。向量几何法：为空间一组基向量   所以异面直线A1C1与BD1所成的角为向量代数法：<以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2）， 第13页共13页 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为 三、公式法公式法实质是矢量几何法的推广：公式一、定