§8.2.3双曲线几何性质(1)

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1、一.课题:双曲线的几何性质(1)二.教学目标:1.能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质,并熟记之;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线方程中的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质,确定双曲线的方程并解决简单问题.三.教学重、难点:双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线.四.教学过程:(一)复习:1.双曲线的定义和标准方程;2.椭圆的性质;(二)新课讲解:以双曲线标准方程为例进行说明。1.范围:观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线的外侧.注意:从双曲线的方程如何验证?从标

2、准方程可知,由此双曲线上点的坐标都适合不等式即,即双曲线在两条直线的外侧.2.对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.3.顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在双曲线的方程里,对称轴是轴,所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,他们是双曲线的顶点.令,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2)实轴:线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做

3、双曲线的实半轴长.虚轴:线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.在作图时,我们常常把虚轴的两个端点画上(为要确定渐进线),但要注意他们并非是双曲线的顶点.4.渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近.在初中学习反比例函数时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数3双曲线的几何性质(1),渐近线是.所谓渐近,既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交?思考:从哪个量上反映“无限接近但永不相交”?——距

4、离。只要证明什么?——距离趋向于0.下面证明,取第一象限内的部分进行证明.(见课本)求法:求已知双曲线的渐近线方程:令右端的1为0,解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程.5.等轴双曲线:1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。3)注意到等轴双曲线的特征,则等轴双曲线可以设为:当时交点在轴,当时焦点在轴上。6.注意与的区别:三个量中不同(互换)

5、相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程,发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。1)性质:共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2)如何确定双曲线的共轭双曲线?将1变为。3)共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征?可设为,当时交点在x轴,当时焦点在y轴上。4)与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为,当时交点在x轴,当时焦点在y轴上。(三).例题分析:例1.求双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、

6、渐近线方程。解:把方程化标准方程:,由此可知,实半轴长,虚半轴长;,焦点的坐标是渐近线方程为,即。例2.双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如左图),它的最小半径为,上口半径为,下口半径为,高,选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到).解:如图(右图),建立坐标系,使小圆的直径在轴上,圆心与原点重合;这时,上、下口的直径3双曲线的几何性质(1)平行于轴,且,;设曲线的方程为:令点的坐标为,则点的坐标为,因为点在双曲线上,所以化简,得解得∴所求双曲线的方程为:.例3.求与双曲线有共同渐近线,且过

7、点的双曲线的方程.解:∵与双曲线有共同渐近线故设所求双曲线的方程为又∵过点∴∴所求双曲线的方程为即.五.课堂练习:课本练习第1,3,4,5题六.课堂小结:双曲线的性质:(可以让学生填写下表)椭圆双曲线不同点标准方程图象范围对称性顶点渐近线七.作业:课本习题8.4的第2(1)(2)(4),4题补充:求与双曲线有共同渐近线,且过点的双曲线的方程.3双曲线的几何性质(1)

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