边界条件的复变函数表示

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1、§8.4边界条件的复变函数表示学习思路：   边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M表示面力边界条件。由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析，面力边界条件也需要用K-M函数表达。   在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条件。而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式，这是复变函数性质决定的。   用复变函数描述的面力边界条件有三个。显然，这三个关系式不是独立的，仅有两个独立关系。学习要点：   1.任意一点的面力边界条件复变函数表达；   2.边界线段AB的面力边界条件：   3.

2、边界力矩与K-M函数的关系：    4.位移边界条件：思考题：   1.根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。（解答）对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为   将复变函数表示的应力分量表达式代入上式，则设AB为弹性体的任意一段边界，而s是从边界上一点A量取的弧长（边界的外法线n指向弧长的右边），如图所示。则由几何关系   将上式代入公式，可得   将上述面力矢量用复数形式表达为Fsx+iFsy，则   将公式代入上式，可得即                      公式

3、的左边表示边界面力矢量在微分线段ds上的主矢量。将公式沿边界从定点A到动点B（设B点的坐标为z）积分，则可得边界面力矢量在弹性体边界线段AB上的主矢量   由于在K-M函数和y(z)中，增加或减少一个复常数并不影响应力值，因此可以适当的选取K-M函数，使上式的常数为零。则   上述公式表示了边界面力矢量与K-M函数和y(z)之间的关系。   显然对于给定的面力矢量，公式的右边为边界点的确定的函数，即已知函数；而左边为坐标z从弹性体区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩，并利用关系式可以得到对上式作分

4、部积分，可得注意到       和                     回代可得   公式的左边在外力给定的条件下，为边界点的确定函数。公式的右边为K-M函数由弹性体内部向边界趋近时的数值。下面再讨论位移边界条件，当边界位移给定时，设边界位移为u=u,   v=v则根据位移边界条件，有上式即为K-M函数表示的位移边界条件。   到此为止，求解弹性力学平面问题，由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，变换为在给定的边界条件下寻找解析函数和y(z)的问题。§8.5多连域中φf(z)和y(z)的一般表达式学习思路：   本节的主要任务是确保描述

5、应力和位移分量的K-M函数的单值性。   单连域中的单值解析函数和y(z)在多连域可能不再是单值的。因此K-M函数和y(z)表示的应力和位移形式也可能不再单值。要保证应力和位移分量的单值性，必须讨论K-M函数和y(z)在多连域中的可能形式。   首先分别根据应力分量的单值条件，将K-M函数和y(z)分解为单值解析函数和可能的多值函数两部份，构造可能的K-M函数和y(z)的形式。然后根据位移的单值条件和内边界面力边界条件确定待定的系数。最后得到多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式。学习要点   1.单连域中的单值解析函数和y(z)在多连

6、域中可能是多值的；   2.应力分量的单值条件；   3.位移分量的单值条件；4.多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式：对于弹性力学的应力解法，若K-M函数和y(z)满足公式，即   则应力分量已经满足平衡微分方程，变形协调方程，对于单连域问题，和y(z)均为单值解析函数。根据边界条件，问题就可以求解。   但是对于多连域问题中，K-M函数和y(z)可能表现为多值函数，尽管它们在单连域中是单值连续的解析函数。对于多连域弹性体S，具有m个内边界和一个外边界，而分别为内边界中的点，如图所示。那么如何选择这些K-M函数，才能保证应力分量和位

7、移分量的单值连续条件呢。这里的原则是保证应力和位移分量的单值性，分别根据应力分量的单值条件，构造可能的K-M函数和y(z)的形式，然后根据位移的单值条件和面力边界条件确定待定的系数。由于应力分量必须是单值的，而应力分量与K-M函数的关系，有所以的实部，即Re必须是单值的。   假如函数环绕多连域内部任意一个内边界lk绕行一周时，如果多值，只能是虚部多值。根据应力表达式其多值部分只能是一个虚常数增量。为方便进一步分析，令此虚数增量为2piAk，其中Ak为实常数。   根据复变函数性质，若复变函数绕lk一周，如果有增量，其只能是对数函数产生的。因此

8、设由两部分组成，一部分是在S内单值解析的；另一部分是Akln(z-zk)，则其绕lk一周有增量2piAk。有   当绕lk一周时，除了Akln(z-z