复变函数及几何表示

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1、复变函数与积分变换任课教师——金彩云课件作业答疑考试第一章复数与复变函数§1.1复数及其代数运算§1.2复数的几何表示§1.3复数的乘幂与方根§1.4区域§1.5复变函数§1.6复变函数的极限和连续性复变函数与积分变换及应用背景(《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它

2、也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.的概念,从而建立了复变函数理论.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.(1)代数方程在实数范围内无解.说:实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了应用复变(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5)应用于计算渗流问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.例如：热炉中温度的计算.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题.(

3、8)复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系.它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要．主要内容本章首先引入复数的概念及其运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的连续性.一复数的概念由于解代数方程的需要

4、,人们引进了复数.例如，简单的代数方程在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，引入等式由该等式所定义的数称为复数：由虚数单位和实数复合而成的数z=x+iy或z=x+yi，其中x和y是任意两个实数，i为虚数单位。纯虚数：实数：实部：虚部：realimaginary二复数的代数运算注意：复数不能比较大小.相等：设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为z1=z2.设复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，则(1)复数的和与差(2)复数的积(3)复数的商显然,z=x+yi是x

5、-yi的共轭复数,即共轭复数复数x-yi称为复数z=x+yi的共轭复数(其中x,y均为实数),并记做.复数代数运算的性质1.交换律2.结合律3.分配律共轭复数的性质例2设求与例1设求与例3设为两个任意复数，证明补例对求。§§1.2复数的几何表示一,复数的几何表示这时把xOy平面称为复平面.有时简称为z平面.称x轴为实轴,y轴为虚轴.复数z=x+yi与二元有序数组（x,y）一一对应。二元有序数组（x,y）与直角坐标平面上的点P（x,y）一一对应。因此复数z=x+yi与直角坐标平面上的点P(x,y)一一对应。P复数z=x+yi还与从原点指向点P

6、(x,y)的平面向量一一对应，因此复数z也可用向量来表示(如图).把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值,并记做

7、z

8、.显然如果点P不是原点(即),那么把以x轴的正向为始边，以表示z的向量为终边的角的弧度数q称为复数z的辐角,记做Argz=θ.对每个,都有无穷多个辐角,如果用q1表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.辐角的辐角；但当z=0时,

9、z

10、=0.满足的复数z的称为主辐角(或称辐角的主值),记做argz,则当z=0时,Argz没有意义,即零向量没有确定辐角主值当时,有辐角主值的求法例：求下列复数的模与辐角主值