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1、论角动量耦合本征值问题的矩阵对角化2004年3月第21卷第2期培训与研究——湖北教育学院TrainingandResearchJoumatofHubeiUniversityofEducationMar.2004v0I.21No.2论角动量耦合本征值问题的矩阵对角化邵建军(湖北教育学院物理与电子信息系,武汉430205)摘要:文章讨论了量子力学的矩阵表述,研究了角动量耦合本征值问题的矩阵对角化.并指出了量子力学(核物理)中矩阵对角化的最实用方法.关键词:矩阵表述;本征值问题;角动量耦合;变分原理中图分类号:O413.1文献标识码:A文章编号:1007—1687(2004)02—0001—0
2、6作者简介-召5建军C196o一),男,湖北教育学院物理与电子信息系,副教授.研究方向:理论物理.1量子力学的矩阵表述与变分原理2角动量算符对易关系的导出角动量耦合本征值问题的矩阵解法是可以精确求解的.然而,能量的本征值问题的矩阵解法一般都只可能是近似求解,因为精确解对应着无穷维的矩阵的对角化.所以,当难阵的阶数增加时.也只是逼近精确解.量子力学中力学量用厄米算符描述,在矩阵表述中近似地对应一个厄米矩阵.假设数学意义上的正交归一的函数集{,i:1,2,…,n'…I是完备的.取,,…构成n维子空间,则任意态=∑ci;变分参数Ci由能量的极小条件确定.通常能量算符R只有下限而无上限,并且束缚
3、态能谱总是分立谱.ccjI-h蓉;式中=fcry;s+=fdr=;由定义=Hl;;式(1)可写为:Eciqcq;对c_*微分,cqS~i+E莩cjcjH;(1,2,…,n);对ci微分,3ciqc;+Ecj*=i;(i=i,2,…,n);能量的极小条件等效于下面两个方程组:0;:0;(i:i,2,…,n);a(,c;于是Ecj=q,(i=1,2,…,n);Ecj莘i,(i=1,2,…,n);ci(一E)=0;(i=12",n);由于=,于是由ci有非零解条件得:Hl1一EHI2…Hlr-IzlI-r22一E…●●●●●●●●●●●'…Hm—E(2)(2)式的本征值问题,就是n×n阶厄米矩
4、阵{}的对角化问题.在这里一个能量厄米算符R,近似地等价于一个n×n阶厄米矩阵.特别指出,当o.时所求的解将接近精确值,在这个意义上说,波动力学与矩阵力学是等价的.转动变换的生成元叫角动量.具有转动不变的系统角动量守恒.转动百的转动算符s百:e-亡.'J;Sd/=e-亡.'J一1一÷d0?j;先转动d0x再转动d0y,与先转动d0y再转动d8x;这两个操作是不对易的.对无穷小转动,在理论力学中,由于略去了二阶无穷小量,而认为两种转动可对易.在量子力学的角动量理论中,不能略去二阶无穷小量,因而不可对易.此不对易关系可通过简单的几何关系给出:[e一xe一亡一1]一Ee-e一亡一1]=Ee一吉
5、()】一13;保留至二阶无穷小量得:r??]l(卜ld0Jx)(卜亡)一1j～l(卜亡)(卜{)一1jl(卜h(dOyd0~)j)一1j;即[j,j]=i}J:;[j.,jp]=ih,;(3)3角动量的本征值与角动量算符的矩阵表示J+-j+J弓+;[J,J.]=O;设J,J:的共同本征态为Ijm>;令h=1;JIjm>=Ijm>;J:Ijm>=mIjm>;(J一)IjITI>=(一m2)Ijm>=(j+J;)Ijm>,故得一≥0;固定时≤;J±=J±d;l-j2,J±]=0;[J:,J±]=±J±;J±Ijm>=;j皤=瞄;j:瞄=(
6、±J±+J±J:)1jm>=(m±1)蝣);于是可写成'=r'Ijm~1>;J:Ijm>=Ijm±1>;j:=j;<jmIJj±{jm>=lI,'l;jj±=j一罡干j:;j(j+1)一m(m±1)=Ir'I;得r=√j___j-=而=,/(j千m)(j±m+1);j+}jH>=o;J—fJml>=0;j—J+fjn>=(J一J一J:)Ijm2>:[一mz(m2+1)]Ijm~>=0.故=mz(m2+1);J+J—fJml>=(J一J+J:)fjmt>=[一ml(ml—I)]Il>0;故=ml(ml—I)
7、;则me:一m1:Jo且△m只能取整数;故m-----一j,……,j;要求2j+1=整数,即对开始固定的收稿日期:2004—01—052培训与研究——湖北教育学院有一个要求,使它为rb:j(j+1).以ljm>为基底的表象中j的矩阵元.<jm,lJ.ljm>=峨,;J}:0100一0010000000—1<jm,IJ±Ijm>='±llJ_}={j+l-{j{Jyl={};<jm'ljIjm>
