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《2015届高考数学第一轮知识点复习学案24》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝
6、a
7、
8、b
9、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±
10、a
11、
12、b
13、.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
14、a
15、与b在a的方向上的投影
16、b
17、cosθ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝
18、a
19、cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝
20、a
21、
22、b
23、；当a与b反向时，
24、a·b＝－
25、a
26、
27、b
28、，a·a＝a2，
29、a
30、＝；(4)cosθ＝；(5)
31、a·b
32、__≤__
33、a
34、
35、b
36、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则
37、a
38、2＝x2＋y2或
39、a
40、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离
41、AB
42、＝
43、
44、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
45、则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ )(3)△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，且·＝·，则△ABC一定是等腰三角形．( √ )(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形．( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．( × )(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－或λ>0.( × )2．(2012·陕西)设向量a＝(1，
46、cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )A.B.C．0D．－1答案 C解析 利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.3．已知向量a，b的夹角为60°，且
47、a
48、＝2，
49、b
50、＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( )A．150°B．90°C．60°D．30°答案 D解析
51、a＋2b
52、2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴
53、a＋2b
54、＝2，a·(a＋2b)＝
55、a
56、·
57、a＋2b
58、·cosθ＝2×2cosθ＝4cosθ
59、，又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴4cosθ＝6，cosθ＝，θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°，故选D.4．在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为( )A．1B．3C．5D．9答案 B解析 表示在方向上的单位向量．设△ABC各边分别为a，b，c，则＝b·cosA＝1，同理，＝a·cosB＝2.由余弦定理可得解方程组得c＝3或0(舍)．故选B.5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．答案 解析 设a和b的夹角为θ，
60、a
61、cosθ＝
62、a
63、＝＝＝.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°
64、，AC＝4，则·等于( )A．－16B．－8C．8D．16(2)(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．思维启迪 (1)∠C＝90°，可选取向量，为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；(2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义．答案 (1)D (2)1 1解析 (1)方法一 ·＝(－)·(－)＝－·＋2＝16.方法二 ∵在方向上的投影是AC，∴·＝
65、
66、2＝16.(2)方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)
67、，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故·的最大值为1.方法二 由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝
68、
69、·1＝1，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴(·)max＝
70、
71、·1＝1.思维升华 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何
