合情推理题的求解策略

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1、合情推理题的求解策略　　根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理.通俗地说，合情推理就是“合乎情理”的推理.数学中的合情推理一般是指类比推理和归纳推理，这两种推理方式常常帮助学生猜测和发现新的规律，为学生提供证明的思路与方法，有助于学生发现新的规律和事实.　　一些推理问题常以图形的形式呈现，先从形中抽象出数，再通过对数的研究，寻求规律.　　例1给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：　　由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个

2、黑色正方形相邻的着色方案共有种.（结果用数值表示）　　难度系数0.45　　分析若从黑色、白色正方形的排列方式考虑，则不容易理出头绪.学生可从数的角度入手，即分析n=1，2，3，4时着色符合要求的方案数，以寻求规律.至少有两个黑色正方形相邻的着色方案数的计算可用间接法，即用无要求的着色数减去黑色正方形互不相邻的着色数，于是答案可得.　　解设an表示n个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数，由已知图形可知a1=2，a2=3，a3=5，a4=8，于是学生注意到a3=a1+a2，a4=a2+a3，由此推断出a5=a3+a4=13，a6=a4+a5=21，故黑色正方形互不相邻的着色方案共有

3、21种.　　给6个小正方形着白色或黑色，每个小正方形有2种方法，由分步乘法计数原理可知所有不同的着色方案共有2×2×2×2×2×2=64种，所以至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64-21=43种.　　小结本题考查归纳推理和分步乘法计数原理知识，发现an=an-1+an-2是解题的关键.学生也可以这样思考：若第一个正方形是白色，则余下的n-1个正方形的着色方式有an-1种；若第一个正方形是黑色，则第二个正方形必是白色，则余下的n-2个正方形的着色方式有an-2种.由分类加法计数原理可得an=an-1+an-2.若数列{an}满足条件an=an-1+an-2，则称数列{an}为斐

4、波那契数列.斐波那契数列在生产和生活领域有着广泛的应用，在高考中也是屡屡出现.　　（2012年高考江西理科卷）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=　　A.28B.76C.123D.199　　解：设a+b=c1=1，a2+b2=c2=3，a3+b3=c3=4，a4+b4=c4=7，a5+b5=c5=11，于是有c3=c1+c2，c4=c2+c3，c5=c3+c4，c6=c4+c5=18，c7=c5+c6=29，c8=c6+c7=47，c9=c7+c8=76，c10=a10+b10=c8+c9=123.选C.

5、　　对于给出一组数学事实，归纳得出一般性结论的试题，学生可将事实中相同的部分保留，将变化的部分用变量来表示.　　例2某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：　　①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；　　②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；　　③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；　　④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°；　　⑤sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°.　　（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.　　（2）根

6、据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.　　难度系数0.52　　分析已知所给五个式子中的角各不相同，五个式子中的结构都为一个角（x）的正弦的平方加上另一个角（y）的余弦的平方再减去第一个角（x）的正弦与第二个角（y）的余弦的积，即sin2x+cos2y-sinx?cosy，两角可轮换且和为定值，即x+y=30°.②式中的两个角相等且为特殊角15°，计算常数容易些.将猜想所得的命题展开，然后消去变量即可.　　解（1）选择②式，计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=.　　（2）三角恒等式为sin2α+cos2（

7、30°-α）-sinα?cos（30°-α）=.　　证明如下：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+（cos30°cosα+sin30°sinα）2-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sinαcosα+?sin2α-sinαcosα-sin2α=.　　小结本题考查归纳推理和三角恒等变换.将五个式子结构中相同的部分保留，不同的部分用x，y表示，这也是构造函数的常用方法.将sin2α+c