函数凹凸性在几何动点不等式中的一

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1、函数凹凸性在几何动点不等式中的一些应用孙世宝安徽省马鞍山市当涂县第二中学（高中部）243100一、引言与引理若且是凸集函数满足都有不等式成立，则我们说为上的凸函数不等式反向时则是凹函数假如凸函数连续则成立如下的Jensen不等式若则本文利用函数的的凹凸性对一些几何动点类不等式进行了尝试性的研究获得了一些有意义的结果首先介绍一个结论它为下节内容的展开奠定了基础引理1已知为上的连续凸函数为有界闭集指包括边界则在上的最大值可在边界上取到证明由于的有界闭集上的连续函数必有最值只需说明的内点的函数值不超过某一边界值就可以了设为的一内点过作一直线交最

2、近的边界线于两点且在线段内部可见线段记则由定比分点公式有利用不等式知于是引理得证推论1若为平面上的凸多边形区域包括边界为上连续凸（凹）函数则的上的最大（小）值可在多边形的顶点处取到证明只需对多边形的边上的点再用一次引理知线段内点的函数值不超过两端点值即可结论显然也可推广到空间凸多面体区域引理2若为上凹函数则为上凸函数引理3若为上凸函数为实常数则函数为上凸函数由凸函数的定义直接验证即可引理4复合函数凸性的判定若为上凸函数为上凸增函数则为上凸函数证明则结论得证推论2为上凸函数则为上凸函数引理5若为上凸函数且实常数则函数为上凸函数证明则利用闵可

3、夫斯基不等式知.引理得证引理6其中是定点则距离函数是上的连续凸函数证明为线段的中点不等式即相当于中的关系式为边长为边上的中线引理7为平面上一定直线为平面上动点表示点到直线的距离则是该平面上的连续凸函数证明为线段的中点不难看出当在同侧时由梯形中位线定理知在两侧时都有成立推论3为平面上凸区域且位于直线的某一侧到直线的距离为则函数在上是既凸且凹的简证在直线的同侧为线段的中点由梯形中位线定理知从而在凸域上既凸且凹也是如此二、三角形动点类不等式的几个猜想的解决记的三边为相应边上的中线长高线长半周长为.所在平面上的动点到顶点距离记为到边为外接圆与内切

4、圆半径为分别表示循环和与积刘健老师在文中提出了如下的猜想猜想1([1])设为三角形内部或边上的任意一点，则当时，成立不等式取等当且仅当重合于顶点时成立笔者得到的结论为时为三角形内部或边上的任意一点，则当时，成立不等式取等当且仅当重合于顶点或时成立证明由引理6知动点的函数都是围成的区域上的凸函数于是由引理3推论2得到是上的凸函数结合引理1的推论知它们都可在顶点处取到最大值在顶点或处最大点处值最小哪点大取决于的大小至于等号成立的条件可由引理的证明看出即若时有则刘健老师的猜想成立这有待于验证猜想2([1])中为三角形内部或边上的任意一点，则当时

5、，成立如下的不等式取等当且仅当重合于顶点时成立证明由引理7知动点的函数都是围成的区域上的凸函数于是由引理3推论2得到是上的凸函数结合引理1的推论知它可在顶点处取到最大值在顶点处最大至于等号成立的条件可由引理的证明看出即猜想3([2])为三角形内部或边上的任意一点，猜想证明由前面引理可见动点的函数在上是凸的它的最大值为只需证即用软件在计算机上验证此不等式成立注：褚小光老师的证明如下.(i)均为锐角时，由已知不等式：得.(ii)当均不全为锐角时，由对称性,不妨设为非锐角,则有另由三角形的两边之和不小于第三边可知于是综上所述,对于任意三角形,不

6、等式恒成立从而猜想成立三、几个新的三角形动点类不等式定理1设为三角形内部或边上的任意一点，则不等式取等当且仅当在顶点处取到这个结论不难由引理53及引理1的推论得到定理2设为三角形内部或边上的任意一点，则等号在重合于时取到证明设，分别为凸、凸增函数利用引理4知为上凸函数从而是凸的。再利用一下引理1的推论即可。定理3为三角形内部或边上的任意一点，为常数且，则为上凸函数证明由推论2只需考虑即可记则于是为闭三角域上的凸函数推论4若是实变数的2次多项式且为三角形内部或边上的任意一点，则在上的最大值可在的顶点处取到这是因为此时可表为线性式的平方和由定

7、理3知是上凸函数相当于定理3中情形再利用一下推论1即可定理3应用一例若，则.定理4若为三角形内部或边上的任意一点，则有.证明是上凸函数又由推论3知也是上凸函数于是是上关于动点的凸函数再用一下推论1就得到右边的不等式利用大家熟知的不等式于是而是上动点的凹函数它在顶点取到最小值于是左边不等式获证注：定理4加强了爱尔多斯—莫德尔不等式参考文献[1]刘健涉及三角形与点的一些几何不等式不等式研究通讯2009,1[2]张玉明褚小光一个三元二次型及若干推论中国初等数学研究2009,1