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1、第19卷第3期沧州师范专科学校学报No.3Vol.192003年9月JournalofCangzhouTeachers’CollegeSep.2003函数凹凸性在证不等式中的应用高俊宇（沧州师专数学系，河北沧州061001）摘要：举例论证函数凹凸性在证不等式中的应用。关键词：凹凸性；不等式中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1008-4762(2003)03-0036-03函数凹凸性，反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，1显然定义2是定义1中λ仅取的情形，从而定义2的为此运用它可以更深入和较准确地掌握函数曲线的形状，这对2于描
2、绘函数的图形有很大的作用。关于这些，在高等数学的各条例弱于定义1，定义1的几何意义如图1，图2类教材中都有详尽的论述。本文是在凹凸性常识的基础上，抛开它的主要作用，只y举例说明函数凹凸性在证不等式中的应用。（1-l）f(x1)+lf(x2)一、有关凹凸性的常识函数凹凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定f[(1-l)x1+lx2]义的更一般的形式。定义1设函数f(x)在区间I上连续，"x1、x2∈I(x1≠x2)、λ∈（0，1），恒有0x1(1-l)x1+lx2x2xf[(1－λ)x1+λx2]＜（1—λ）f（x1）+λf(x2
3、)图（1）(1)(f[(1—λ)x1+λx2]＞(1—λ)f(x1)+λf(x2))yf[(1-l)x1+lx2]则称函数f(x)在I内是凹（凸）的，并称曲线y=f(x)是上凹（上凸）的。定义2设函数f(x)在区间I上连续，"x1、x2∈I(x1≠x2)、恒有(1-l)f(x1)+lf(x2)x1+x2f(x1)+f(x2)f()＜22(2)0x1(1-l)x1+lx2x2xx1+x2f(x1)+f(x2)（f()＞）22图（2）则称函数在I内是凹（凸）的，并称曲线y=f(x)在I内是上如果函数f(x)在I内具有二阶导数，那末可以利用
4、二阶凹（上凸）的。导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。我们仅就I为闭区间的情形来叙述定理，当I不是*收稿日期：2003-03-09作者简介：高俊宇（1965—），女，河北沧州人，沧州师范专科学校数学系教师。·36·第3期高俊宇：函数凹凸性在不等式中的应用闭区间时，定理类同。≥(1-l)f(x*)+lf(x)k+1k+1k+1定理若函数y=f(x)是[a,b]上连续，在（a,b）内具"有一阶和二阶的导数，"x∈(a,b),恒有f(x)>0(<0),则kli曲线y=f(x)在区间[a,b]上对定义1、定义2都是
5、上凹（上=(1-lk+1)f(åxi)+lk+1f(xk+1)1-li=1k+1凸）的。（证明省略）*二、在证不等式中运用函数凹凸性的例子等号仅当x=xk+1时成立.又由归纳假设，有1．凸函数在近代分析、优化等领域都有重要的应用，klklii下面先证明凸函数的一个重要性质，然后用此性质很方便f(åxi)≥åf(xi)i=11-lk+1i=11-lk+1地证明一个著名的不等式。因此命题1设函数f(x)在区间I内是凸的，λ(i=1,…,n)ik+1klinf(ålixi)≥(1-lk+1)åf(xi)+lk+1f(xk+1)1-l是任意正
6、数且l=1，xi=1i=1k+1åii∈I(i=1,…,n)i=1k且x1≤x2≤⋯≤xn，则=ålif(xi)+lk+1f(xk+1),i=1nnålif(xi)£f(ålixi)k+1kk+1i=1i=1即f(ålixi)≥ålif(xi)且等号仅当x1=x2=⋯=xn时成立。i=1i=1证用数学归纳法.*且等号仅在x1=x2=⋯=xk（这时又必有x=xi(i=1,2,⋯,k)）,（1）n=2时，由凸函数的定义1中的（1）式从而等号仅在x1=x2=⋯=xk+1时成立。λ1f(x1)+λ2f(x2)=(1—λ2)f（x1）+λ2f(
7、x由于（1）（2）两步的证明，命题1成立。2)命题2有限个正数的几何平均值不超过它们的算术平均≤f[(1—λ2)x1+λ2x2]=f(λ1x1+λ2值，即设xi>0(i=1,2,⋯,n),则x2),1x1+x2+L+x(xxLx)n≤n且等号仅在x1=x2时成立，从而结论成立；12n,n（2）设n=k时（3）式成立且等号仅在x1=x2=⋯=xk时成且等号仅在x1=x2=⋯=xn时成立.立.证不妨设x1≤x2≤⋯≤xn，k+11“l令f(x)=Inx,则f(x)=-<0（x∈(0,+∞)）,当n=k+1时,设åi=1,x1≤x2≤⋯≤x
8、k≤xk+1，x2i=1由函数凸性的判定定理，f(x)=Inx在(0,+∞)内是凸函数，k11*l取λi=,据凸函数的性质（命题1），有记x=´åixin1-lk+1i=1n1nålnxixi1k1kn≤ln(å)*i=
