函数凹凸性在不等式中的应用

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1、函数凹凸性在不等式证明中的应用张云摘要：在给出了凹凸函数定义的基础上，提出了凹凸函数的判定定理(定理1)以及詹森(Jensen)不等式(定理2),并简要阐述了利用这些定义和定理在证明不等式中的应用。3」给出一些简单不等式，区别以往的证明方法，即直接利用了凹凸函数定义来证明这些不等式；3.2应用詹森(Jensen)不等式证明一些具有无限项的不等式，它实现了有限向无限的转化；3.3证明了一类重要的不等式——积分不等式，将不等式证明扩展到了积分领域上来；3.4充分利用了幕函数、指数函数以及对数函数的凹凸性，证明并构造了具有相似结构的一类不等式，从而大人拓宽了应用函数凹凸性来证明

2、不等式的思路.Abstract:BasedonConcaveandconvexfunction'definitions,presentstheconcaveandconvexfunctiontheorem(theorem1)andJenseninequality(theorem2),andalsobrieflydescribedusingthesedefinitionsandtheoremsintheapplicationofinequalityofproof.3」Putsomesimpleinequality,differencebetweenthepreviousme

3、thods,usingtheconcaveandconvexfunction'definitionsdirectlytoprovetheseinequalities;3.2ApplicationofJenseninequalitiesprovedsomeitemsofunlimited,itrealizesthetransformationfromthefinitetotheinfinite;3.3Proveimportantinequality,IntegralInequality;3.4Makefulluseofthepowerfunction,exponential

4、functionandlogarithmicfunction"concave-convex,proofandconstructedsimilarstructureofinequality,thusgreatlywidenmethodwhichapplicationtheconcaveandconvexofprovetheinequalily.关键词：函数；凹凸性；不等式证明.Keywords：Function;Concave-convex;Inequalityproof.不等式在数学中占有很重要的地位，不等式的证明也是数学学习和研究的重点。凹凸函数是一个重要的概念，它是一

5、类有着广泛应用的特殊函数，对数函数，指数函数，以及慕函数，都是凹凸函数，三角函数在某些区间上也具有凹凸性，它具有许多特殊的性质•这里我们主要研究凹凸函数的不等式性，它是研究不等式的有利工具，在证明不等式中有着广泛的应用，本文抛开了以往证明不等式的方法，应用i种全新的方法和思路来证明一些不等式，那就是应用凹凸函数的定义及相关定理來证明.2.预备知识定义1⑴设/(X)为定义在区间/上的函数，若对I上的任意两点和任意实数Qw(0,1)总有/(A%,+(1-2)x2)

6、上的任意两点.和任意实数Qw(0,1)总有/(Axj+(l-A)x2)>/l/(x1)+(l-/l)/(x2),则称/(x)为/上的凹函数.定理!(!!［21(31(凹凸函数判定定理)设/(兀)在［⑦切上连续，在(Q0)内具二阶导数,那么/(兀)是凸函数(凹函数)的充要条件是：fx)>0(fx)<0)・定理2山⑶(詹森(Jensen)不等式)设函数/(无)为定义在/上的凸函数，若且“I,q>0,i=1,2,3,…，兀,且有等式eq+勺+•••+%=1，那么+a2x2+•••+)5q/'(西)+冬/也)+…+aJ(兀J成立.证应用数学归纳法，(1)当h=2,且6Z)+=

7、1,由定义1显然有/(6/^!+a2x2)<^/(^)+a2f(x2)；k(2)假设当n=k,有勺>0,心1,2,・・・北及工®=1时结论成立，即有：/=1+冬花+…+%无)54/(无1)+。2/(兀2)+…+dJ(耳)k+成立，那么对于刃=£+1,有&>0,心1,2,・・・山+1,且工4=1时有?=1/（人兀1+入兀2+…+KXk+人+1%］）=/(Axi+易兀2+…+人也-1+(4无+A+i^+1))=f（x+入兀2+…+4-ix^-i+（入+4+1）（_xk+-忑+1））九k+九k+4i+iS人/(西)+入/(兀2